Propiedades de un derivado en un intervalo compacto.

Question

Supongamos que una función de $F$ es diferenciable en un intervalo de $(a,b) \supset [0,1]$. Denotar sus derivados por $f$, y supongamos que $f > 0$ a $[0,1]$.

Pregunta 1: ¿Es cierto que $f$ puede ser apartó de $0$ a $[0,1]$, es decir, que existe una $c > 0$ tal que $f(x) > c$ para todos los $x \in [0,1]$? Si $f$ es continuo, esto es claramente cierto, como una función continua alcanza su mínimo en un conjunto compacto, y este mínimo es $> 0$ por supuesto. Si $f$ fueron una función arbitraria (no derivados), esto es claramente falso; por ejemplo, considere la función $f(x) = 1$ cuando $x = 0$ e $f(x) = x$ en otros lugares. Pero esta función tiene una discontinuidad de salto, y por lo tanto no es la derivada de cualquier función.

Pregunta 2: ¿Es cierto que $f$ está delimitada en $[0,1]$? Tenga en cuenta que si se elimina el $f > 0$ requisito, esto no es cierto (por ejemplo, considere la posibilidad de $F(x) = x^2 \sin(1/x^2)$, $F(0) = 0$; $F$ es diferenciable, por lo $f$ existe, sino $f$ es no acotada).

Esta pregunta puede ser relevante, pero no responden directamente a la anterior.

Answer 1

Un contraejemplo para la primera pregunta es

$$\tag 1 F(x)=\int_0^x\sin^2 (1/t)\,dt + x^2.$$

Prueba: En $(0,1],$ la FTC muestra $F'(x)= \sin^2 (1/x) + 2x >0.$ también contamos $F'(0)=1/2.$ Esta afirmación es más difícil de probar, pero supongo que tiene. Luego tenemos la $F'>0$ a $[0,1].$ Pero como $n\to \infty,$ $F'(1/(n\pi))$ $= 2/(n\pi)$ $\to 0.$ por Lo tanto no es positivo límite inferior $c$ para $F'.$

Para mostrar $F'(0)=1/2,$ deje $I(x)$ ser integral en $(1).$ Dejando $t=1/y$ da

$$\frac{I(x)}{x} = \frac{1}{x}\int_{1/x}^\infty \frac{\sin^2 y}{y^2}\,dy=\frac{1}{2x}\int_{1/x}^\infty \frac{1-\cos(2y)}{y^2}\,dy$$ $$ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x}\int_{1/x}^\infty \frac{\cos(2y)}{y^2}\,dy.$$

Para mostrar el segundo término de la última expresión $\to 0$ como $x\to 0^+,$ integrar por partes. (Voy a dejar aquí por ahora; pregunte si usted tiene preguntas.) Por lo tanto $I(x)/x\to 1/2,$ que muestra $F'(0)=1/2.$

Answer 2

No. Por ejemplo, supongamos $f$ ser un modelo lineal por tramos y positivo en $[0,1)$ tal que en una secuencia infinita de intervalos de acercarse a $1$, $f$ alterna entre bajando a valores de acercamiento $0$, saltando de arriba a valores de acercamiento $\infty$, y saltar de nuevo hacia abajo a $1$ y se mantiene constante con un valor de $1$. Definir $F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$. Si elegimos los intervalos donde la $f$ toma valores distintos de $1$ a ser lo suficientemente pequeñas y dispersas ( $t\to 1$, $f(t)=1$ para un rápido proporción cada vez más grande de la época), las integrales de $f$ más de estos intervalos tienen un efecto insignificante sobre el comportamiento limitante de $F(x)$ como $x\to 1$. Así, $F$ se extienden continuamente a $1$ con $F'(x)=1$. Podemos extender $F$ a ser diferenciable en un intervalo abierto que contiene a$[0,1]$ (por ejemplo, haciendo que su derivado $1$ fuera de $[0,1]$).