Resolución de una EDO: formas cerradas de $x(t)$ y $y(t)$

Question

Me dan el siguiente sistema.

\begin{split} \overset{.}{x}&= y\\ \overset{.}{y}&= k(1-y^2)^{3/2}e^{-x} \end{split}

escribir $dx= \overset{.}{x}dt$ y $dy= \overset{.}{y}dt$ llegamos a

$$\frac{ydy}{(1-y^2)^{3/2}}= ke^{-x}dx$$

Integrando ambos lados se obtiene

$$(1-y^2)^{-1/2}= ke^{-x}+c.$$

¿Cómo puedo obtener formas cercanas de $x(t)$ y $y(t)$ en el término de $t$ ?

Answer 1

$(1-y^2)^{-1/2} -c = ke^{-x}$

Así que,

$\frac{dy}{dt} = k(1-y^2)^{3/2}e^{-x} = (1-y^2)^{3/2}((1-y^2)^{-1/2} -c)$

$\frac{dy}{dt} = 1-y^2 -c(1-y^2)^{3/2} =(1-y^2)(1-c(1-y^2)^{-1/2}) $

Si la constante $c$ fueran cero, sería mucho más sencillo

$\frac{dy}{dt} = 1-y^2 $

$\int\frac{1}{1-y^2}dy = \int dt$

$\frac{1}{2}\ln\bigg\vert\frac{y+1}{y-1}\bigg\vert = t+c'$

$\frac{y+1}{y-1} = e^{2t+2c'} = \alpha e^{2t}$ , $\alpha = e^{2c'}$

$$y = \frac{\alpha e^{2t}+1}{\alpha e^{2t}-1}$$

Ahora, $\frac{dx}{dt} = y = \frac{\alpha e^{2t}+1}{\alpha e^{2t}-1}$

$\int dx = \int \frac{\alpha e^{2t}+1}{\alpha e^{2t}-1}dt$

Sobre la integración,

$$x = \ln|\alpha e^{2t} -1| - t + \beta$$

Answer 2

Tenemos

$$\frac{\ddot x}{(1-\dot x^2)^{3/2}}=ke^{-x}$$

que se integra como

$$(1-\dot x^2)^{-1/2}=c-ke^{-x}.$$

De aquí sacamos una ecuación separable pero desagradable

$$\dot x=\sqrt{1-\frac1{(c-ke^{-x})^2}}.$$

De todos modos, esto nos da la trayectoria $y$ en términos de $x$ .