La circunferencia biseca el segmento que une los vértices de dos polígonos regulares de lados pares

Question

Para dos polígonos regulares desiguales de lados pares, la circunferencia que los rodea biseca el segmento que une los vértices de los dos polígonos.

Aquí hay algunas imágenes que ilustran la cuestión: Para dos polígonos regulares pares con igual número de lados, he observado que siempre se mantiene la siguiente relación:

$$CO=C_1O$$

Como aclaración, podemos construir una circunferencia con tres puntos. En los casos anteriores, las tres circunferencias están formadas por pares de tres puntos $(D,A,D_1),~(E,F,E_1,),~(F,G,F_1)$ respectivamente. Punto $O$ es donde la circunferencia intercepta el segmento que une los vértices de los polígonos. He tropezado con este problema durante un tiempo, y no pude averiguar cómo demostrarlo. Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

Como dije en mi comentario, puedes sustituir los polígonos por círculos. La imagen es entonces como la siguiente:

Tienes dos círculos, tangentes entre sí en algún punto $T$ y dos puntos (aquí, $P_1$ y $P_2$ ), uno en cada círculo, tal que el ángulo $\widehat{TC_1P_1}$ y $\widehat{TC_2P_2}$ son iguales.

Se sabe que el centro del círculo que pasa por $T$ , $P_1$ y $P_2$ es la intersección de las bisectrices perpendiculares de $TP_1$ y $TP_2$ llama a esta intersección I.

Si uno continúa las líneas $C_1P_1$ y $C_2P_2$ hasta que se cruzan, forma un triángulo isóceles. Dado que los bisectores perpendiculares o $TP_1$ y $TP_2$ son también los bisectores de los ángulos $\widehat{TC_1P_1}$ y $\widehat{TC_2P_2}$ la línea que va del tercer vértice a $I$ resulta ser el bisector perpendicular de $C_1C_2$ . Por lo tanto, ya que $C_1C_2$ es perpendicular a este diámetro del círculo, $M$ debe ser el simétrico de $T$ por el eje de este bisector.

Ahora sólo queda demostrar que, con esta información, $AM = MB$ . Llamemos a U el medio de $C_1C_2$ . Desde $MU = UT$ , $C_1U = UC_2$ se convierte en $C_1M + MU = UT + TC_2$ se puede añadir la longitud de $AC_1$ en ambos lados para obtener $AC_1 + C_1M + MU = UT + TC_2 + AC_1$ . Pero $AC_1 = C_1T$ por definición de $C_1$ Así que $AC_1 + C_1M + MU = UT + TC_2 + C_1T$ que se simplifica en $AM + MU = UT + C_1C_2$ y como $MU = UT$ , a $AM = C_1C_2$ De la misma manera, se puede demostrar que $MB = C_1C_2$ . Por lo tanto, $AM = MB$ como se iba a demostrar.

Answer 2

Esta pregunta puede responderse utilizando la relación cruzada compleja elemental. Se nos da un número entero positivo $n>1$ y definir el $n$ -raíz de la unidad $z := e^{2\pi i/n}$ . Supongamos que tenemos dos círculos externamente tangentes en el plano complejo. Sin pérdida de generalidad, utilizando movimientos rígidos, el primer círculo está centrado en el origen $P_0 := 0$ con radio $r_1$ . Siendo el punto de tangencia $P_1 := P_0 + r_1.$ El segundo círculo está centrado en $P_5 := P_1 + r_2$ . Definir los puntos $P_2 := P_0 + r_1 z$ en el 1er círculo girado en el sentido de las agujas del reloj desde el punto $P_1$ y $P_3 := P_5 - r_2/z$ en el 2º círculo girado en sentido contrario a las agujas del reloj desde el punto $P_1$ . Definir $P_4 := ((P_0-r_1) + (P_5+r_2))/2 = P_0 + r_2$ como centro de la circunferencia de los dos círculos tangentes. Esto se etiqueta como $O$ en los diagramas.

La cuestión es cómo demostrar que los cuatro puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ son cíclicos. La respuesta es que esto es cierto si y sólo si sus relación cruzada es real. Comprueba que la relación cruzada se simplifica como $$\frac{(P_1-P_3)(P_2-P_4)}{(P_2-P_3)(P_1-P_4)} = \frac{(r_2-r_2/z)(r_1 z-r_2)}{(r_1(z-1)-r_2(1-1/z))(r_1-r_2)} = \frac{-r_2}{r_1-r_2}$$ lo que demuestra el resultado. Obsérvese que no hemos necesitado utilizar ese $n$ es par y si $n=2$ entonces los cuatro puntos son colineales. Si $r_1=r_2$ entonces el resultado sigue siendo cierto ya que $P_1=P_4$ en ese caso, por lo que sólo tenemos tres puntos diferentes y cualesquiera tres puntos no colineales son cíclicos.

Answer 3

Aquí hay una configuración un poco más general:

Dejemos que $O_1,O_2$ sean dos puntos. Elija $C$ en el segmento $O_1O_2$ . Los círculos centrados en $O_1,O_2$ a través de $C$ intersectan la línea $O_1O_2$ en ( $C$ y) los (otros) puntos $A_1$ y respectivamente $A_2$ . Considere ahora de $A_1, A_2$ dos rayos en el mismo semiplano con respecto a $O_1O_2$ haciendo el mismo ángulo con $O_1O_2$ . Dejemos que $B_1,B_2$ sea la intersección de los rayos con los círculos $(O_1)$ , respectivamente $(O_2)$ .

Entonces los puntos $C,B_1,B_2$ y el centro del segmento $A_1A_2$ son concéntricos.

En la imagen también hay una posible prueba rápida.

El centro del círculo $(B_1CB_2)$ , denotado por $M$ se encuentra en las bisectrices laterales de $B_1C$ , respectivamente $B_2C$ siendo así determinado como su intersección. Los centros $O_1$ , respectivamente $O_2$ se encuentran sobre ellos, y el triángulo $MO_1O_2$ es isósceles, $MO_1=MO_2$ debido a los ángulos de la base.

La perpendicular en $M$ en $O_1O_2$ es por tanto el punto medio del segmento $O_1O_2$ . Dejemos que $C^*$ sea la simétrica de $C$ con respecto a esta perpendicular. Entonces $C^*$ también está en el círculo $(B_1CB_2)$ centrado en $M$ ya que $MC=MC^*$ . Queda por observar que $C^*$ es el punto medio de $A_1A_2$ .

$\square$