¿Bloch "Proofs and funds" adquiere zorn lemma Safe and sound?

Question

Hola chicos estoy actualmente en un curso introductorio de la Teoría de conjuntos, Estamos utilizando Jech Hrbacek libro, pero actualmente estamos divergentes mirando equivalencias del axioma de elección antes de ir con los números ordinales, que, sin embargo, encontró un obstáculo como nuestro maestro no sabía nada buena prueba para Zorn lema asumiendo el Axioma de elección, yo le dije acerca de Bloch de la prueba, pero lo desestimó como probablemente no totalmente correcta, nos ha presentado una prueba de que él se encuentra en línea, pero utiliza extrema supuestos (que incluso nos dijo que no cree) y es largo y complejo, tal vez es lo correcto, como he encontrado en internet que habla sobre "conformn conjuntos" y en los supuestos que, probablemente, podría ser demostrado, pero Bloch uno puedo entender y no me parecen encontrar cualquier defectos lógicos dentro de ella, ¿alguien puede dar fe de que mi intuición acerca de esto? o, al menos, el punto de las fallas, así que pueden aprender.

EDIT: he encontrado la prueba de que él citó, fue por Jonathan Lewin, viendo que la alta en los motores de búsqueda supongo que es correcto, sin embargo me gustaría ir con Bloch de la prueba en caso de que sé que es correcto y cumple a un ambiente formal

EDIT 2: la prueba es similar a esto

EDIT 3: /http://faculty.bard.edu/bloch/proofs2_errata.pdf como contestada correctamente por debajo de la prueba es defectuoso, Bloch enlaces para una correcta prueba, sin embargo creo que este post es útil para un banco de differnt de las pruebas y los antecedentes

Answer 1

El problema en la prueba que han publicado es en el segundo párrafo último - el conjunto $\mathcal A$ no es en realidad de cadena cerrada. Su prueba de que es de cadena cerrada implícitamente asume que la cadena de $\mathcal C$ no está vacía. Sin embargo, como el autor de sí mismo ha señalado anteriormente, el vacío de la cadena es una cadena, y su unión es $\emptyset$, que no contenga $S_A$. De hecho, no es demasiado difícil mostrar que $\mathcal M=\{\emptyset\}$.

La anterior prueba, ciertamente, tiene la idea correcta. Es decir, mientras no se indique explícitamente, parece que están probando el Hausdorff Máxima Principio, que parece ser un caso especial de el Lema de Zorn (cuando el subyacente poset es el conjunto de cadenas en otro poser, ordenados por inclusión), pero puede ser fácilmente utilizado para probar la versión completa de el Lema de Zorn. El autor también es correcto en el trato con un cierto tipo de cercanía, pero necesita ser más cuidadoso en su definición.

La manera en que lo haría normalmente proceder es utilizar el Axioma de Elección para encontrar, para cada una de las $A\in\mathcal P$, un elemento $x_A$ de su conjunto subyacente $X=\bigcup_{B\in\mathcal P} B$ que no está en $A$, si existe, y deje $S_A=A\cup\{x_A\}$ si $x_A$ existe, y $S_A=A$ lo contrario. La razón de esto es que $A\subseteq S_A$, con igualdad si y sólo si $A$ es máxima, y si la igualdad falla no hay $B$ tal que $A\subsetneq B\subsetneq S_A$. Usted, a continuación, llama a un subconjunto $\mathcal R\subsetneq \mathcal P$ cerrado si es de cadena cerrada en el sentido anterior, y cerrada bajo $S$, es decir, si $A\in \mathcal R$ entonces $S_A\in\mathcal R$. (Tenga en cuenta que $\mathcal R$ cadena cerrada es equivalente a $\emptyset\in\mathcal R$, e $\bigcup_{C\in\mathcal C}C\in\mathcal R$ por cada no vacía cadena de $\mathcal C\subseteq\mathcal R$.) Puedo reclamar $\mathcal N$ es una cadena.

Para demostrar $\mathcal N$ es una cadena, primero presentamos algunos de la nueva terminología. Llame a $N\in\mathcal N$ comparable si $N\subseteq M$ o $M\subseteq N$ por cada $M\in\mathcal N$. Deje $\mathcal C$ denotar los elementos comparables de $\mathcal N$. Tenga en cuenta que $\mathcal N$ es una cadena si y sólo si $\mathcal N=\mathcal C$. Fix $N\in\mathcal C$. (Nota: $\emptyset$ es de $\mathcal N$ y, por tanto, en $\mathcal C$, lo $\mathcal C$ no está vacía.) Definir el conjunto $$\mathcal H = \big\{M\in\mathcal N: M\subseteq N\text{ or }S_N\subseteq M\big\}.$$ Vamos a mostrar a $\mathcal H$ es cerrado. Claramente $\emptyset\in\mathcal H$. Deje $M\in\mathcal H$. A continuación, cualquiera de $M\subsetneq N$, $M=N$o $S_N\subseteq M$. Si $M\subsetneq N$, entonces a partir de la $N$ es comparable y $S_M\setminus M$ contiene más de un elemento, $S_M\subseteq N$, y por lo tanto $S_M\in\mathcal H$. Si $M=N$, obviamente $S_M=S_N$, así que de nuevo $S_M\in\mathcal H$. Si $S_N\subseteq M$, claramente $S_N\subseteq S_M$, y así una vez más $S_M\in\mathcal H$. Ahora, vamos a $\mathcal R$ ser (no vacío) de la cadena en $\mathcal H$ y deje $U=\bigcup_{M\in\mathcal R}M$. Si $M\subseteq N$ por cada $M\in\mathcal R$, a continuación, $U\subseteq N$, lo $U\in\mathcal H$. Si no, entonces no existe $M\in\mathcal R$ tal que $S_N\subseteq M\subseteq T$, y de nuevo $U\in\mathcal H$. Esta muestra $\mathcal H$ es cerrado. Desde $\mathcal H\subseteq\mathcal N$, la cual está contenida en cada conjunto cerrado, debemos tener $\mathcal H=\mathcal N$.

Ahora mostramos $\mathcal C$ es cerrado, que por el mismo argumento implica $\mathcal C=\mathcal N$. Ya hemos señalado que $\emptyset\in\mathcal C$. Deje $N\in\mathcal C$. Si $M\in\mathcal N$, a continuación, $M\in\mathcal H$, lo $M\subseteq N\subseteq S_N$o $S_N\subseteq M$. Esta muestra $S_N$ es comparable, es decir, $S_N\in\mathcal C$. Deje $\mathcal R$ ser una cadena vacía en $\mathcal C$, y deje $U=\bigcup_{N\in\mathcal R}N$. Fix $M\in\mathcal N$. Si $N\subseteq M$ para todos los $N\in\mathcal R$, a continuación, $U\subseteq M$. De lo contrario, no existe $N\in\mathcal R$ tal que $M\subsetneq N\subseteq U$. Por lo tanto $U$ es comparable, es decir, $U\in\mathcal C$. Esta muestra $\mathcal C$ es cerrado, y por lo tanto, $\mathcal C=\mathcal N$.

Finalmente, demostramos $\mathcal P$ tiene un elemento maximal. Deje $T=\bigcup_{N\in\mathcal N}N$. Desde $\mathcal N$ es una cadena y es de cadena cerrada, ha $T\in\mathcal N$. Desde $\mathcal N$ es cerrado, esto implica $S_T\in\mathcal N$. Pero, por definición, de $T$, desde el $S_T\in\mathcal N$, debemos tener $S_T\subseteq T$. Por lo tanto $S_T=T$, lo $T$ es máxima.