¿Por qué aparecen los factoriales en diferencias de potencias consecutivas?

Question

¿Por qué el factoriales aparecen cuando en repetidas ocasiones tomando las diferencias de las sucesivas potencias? O más bien ¿por qué es el $n_{th}$ factorial igual a la $n_{th}$ diferencia de $(k+1)^{n}-k^n$? Estoy teniendo problemas para la formulación de esta manera comprensible, así que por favor consulte estas tablas para la ilustración:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1_{st}.difference & 2_{nd}.difference \\ \hline 2^2-1^2 = 3 & \\ \hline 3^2-2^2 = 5 & 5 - 3= 2 \\ \hline 4^2-3^2 = 7 & 7-5=2 \\ \hline 5^2-4^2 = 9 & 9 - 7 = 2 \\ \hline 6^2-5^2 = 11 & 11 - 9 = 2 \\ \hline 7^2-6^2 = 13 & 13 - 11 = 2 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1_{st}.difference & 2_{nd}.difference & 3_{rd}.difference\\ \hline 2^3-1^3 = 7 & \\ \hline 3^3-2^3 = 19 & 19 - 7=12 \\ \hline 4^3-3^3 = 37 & 32-19=18 &18-12=6 \\ \hline 5^3-4^3 = 61 & 61 - 37 = 24 &24-18=6 \\ \hline 6^3-5^3 = 91 & 91 - 61 = 30 &30-24=6 \\ \hline 7^3-6^3 = 127 & 127 - 91 = 36 &36-30=6 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1_{st}.difference & 2_{nd}.difference & 3_{rd}.difference & 4_{th}.difference \\ \hline 2^4-1^4 = 15 \\ \hline 3^4-2^4 = 65 & 65 - 15=50 \\ \hline 4^4-3^4 = 175 & 175 - 65 =110 & 110 - 50 =60 \\ \hline 5^4-4^4 = 369 & 369 - 175 = 194 & 194 - 110 = 84 & 84-60=24 \\ \hline 6^4-5^4 = 671 & 671 - 369 = 302 & 302 - 194 = 108 &108-84=24 \\ \hline 7^4-6^4 = 1105 & 1105 - 671 = 434 & 434 - 302 = 132 &132-108=24 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1_{st}.difference & 2_{nd}.difference & 3_{rd}.difference & 4_{th}.difference & 5_{th}.difference\\ \hline 2^5-1^5 = 31 & \\ \hline 3^5-2^5 = 211 & 211-31=180 & \\ \hline 4^5-3^5 = 781 & 781-211=570 & 570-180= 390 \\ \hline 5^5-4^5 = 2101 &2101 - 781=1320 & 1320-570=750 & 750-390=360 \\ \hline 6^5-5^5 = 4651 &4651 - 2101=2550 & 2550-1320=1230 &1230-750=480 & 480-360=120 \\ \hline 7^5-6^5 = 9031 & 9031-4651=4380 & 4380-2550=1830 &1830-1230=600 & 600-480=120\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1_{st}.difference & 2_{nd}.difference & 3_{rd}.difference & 4_{th}.difference & 5_{th}.difference & 6_{th}.difference\\ \hline 2^6-1^6 = 63 & \\ \hline 3^6-2^6 = 665 & 665-63=602 & \\ \hline 4^6-3^6 = 3367 & 3367 -665 =2702 & 2702 -602 = 2100\\ \hline 5^6-4^6 = 11529 &11529 - 3367 =8162 & 8162 -2702 =5460& 5460-2100=3360\\ \hline 6^6-5^6 = 31031 &31031 - 11529 =19502‬ & 19502‬ -8162 =11340&11340-5460=5880& 5880-3360=2520\\ \hline 7^6-6^6 = 70993 & 70993 -31031 =39962& 39962-19502‬ =20460&20460-11340=9120& 9120-5880=3240 & 3240 -2520=720\\ \hline \end{array}$$

Answer 1

Para cualquier polinomio de grado $n$, teniendo en $n$ dividido diferencias para llegar a una constante. Esa constante es $n!$ veces el coeficiente de la líder plazo. Como su polinomio, $k^n$, tiene un coeficiente inicial de $1$ la constante se $n!$.

Answer 2

Consideremos el $n^{th}$ de diferencia finita de potencias de $n$ $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} (k+i)^n. \end{eqnarray*}$$ Binomial ampliar invertir el orden de las sumas y tenemos $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} k^{n-j} i^{j} = \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} k^{n-j} \color{red}{\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} i^{j}}. \end{eqnarray*}$$ Ahora la suma en rojo es cero, a menos $j=n$ y su valor es $n!$, a ver esto ... observar que $$\begin{eqnarray*} i^j = [x^j] : e^{ix} j! \end{eqnarray*}$$ y $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} i^{j} &= & [x^j] : \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} e^{ix} j! \\ &= & [x^j] : (1- e^{x})^n j! \\ \end{eqnarray*}$$

Answer 3

Para hacer esta formulación más fácil
tenemos que crear nuestra propia función para encontrar el n-ésimo término de la diferencia de la secuencia (similar a la derivada). En el caso de la derivada de la función es instantáneo, pero enésimo término es definido sólo por número natural.
Dejar que la nueva función de ser $\frac{α}{αn}$. Se define como
$^1d = \frac{α}{αn}a_n = a_{n+1} - a_n$, 1 en frente de $d$ indica el 1er diferencia de la secuencia.

Si $a_n = c$, algunas constantes
A continuación, $^1d=\frac{α}{αn}c=c-c=0$, debido a que es independiente de n ($a_{n+1}=a_n=c$)

2ª diferencia de la secuencia (de $a_n=n^x$),
$^2d=(\frac{α}{αn})^2n^x$
yo.e,
$^2d=\frac{α}{αn}(\frac{α}{αn}n^x)$

Ahora tenemos que introducir algunas fórmulas para hacer nuestro trabajo más fácil
$$\begin{eqnarray*} \frac{α}{αn}n^x&= &(n+1)^x-n^x \\ &= &{x\choose0}n^x+{x\choose1}n^{x-1}+{x\choose2}n^{x-2}+...+{x\choose{x-2}}n^2+{x\choose{x-1}}n+{x\choose x}-n^x \\ &= &{x\choose1}n^{x-1}+{x\choose2}n^{x-2}+...+{x\choose{x-2}}n^2+{x\choose{x-1}}n+1 \\ \end{eqnarray*}$$ $\because$ usando el teorema del binomio

Vamos a intentar un ejemplo:
$$\frac{α}{αn}n^3={3\choose 1}n^2+{3\choose 2}n+{3\choose 3}$$ $$\etiqueta{1} =3n^2+3n+1$$ $$\begin{eqnarray*} \left(\frac{α}{αn}\right)^2 n^3&= &\frac{α}{αn}(3n^2+3n+1) \\ &= &3\frac{α}{αn}n^2+3\frac{α}{αn}n+\frac{α}{αn}1 \\ &= &3(2n+1)+3(1) \\ &= &6n+6 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \left(\frac{α}{αn}\right)^3n^3&= &\frac{α}{αn}(6n+6) \\ &= &6=3! \end{eqnarray*}$$
Nos finded la tercera diferencia secuencia de $n^3$,(me.e, la segunda diferencia de $3n^2+3n+1$)
En eq.(1) $3n+1$ no tienen ningún efecto en el resultado porque el que ser constante y se desvanecen

así, En la búsqueda de la kth diferencia de cualquier $a_n$

los términos con $n^{th}$ de energía menos de k no tiene ningún efecto sobre la solución

Vayamos ahora a nuestro problema $$\begin{eqnarray*} \left(\frac{α}{αn}\right)^x n^x&= &\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-1} \left(\frac{α}{αn} n^x \right) \\ &= &\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-1} \left({x\choose 1}n^{x-1}+{x\choose 2}n^{x-2}+...+{x\choose {x-1}}n+{x\choose x} \right) \end{eqnarray*}$$ estamos encontrando ${x-1}^{th}$ diferencia de la ${x\choose 1}n^{x-1}+{x\choose 2}n^{x-2}+...+{x\choose {x-1}}n+{x\choose x}$
por lo que las condiciones con menos de ${x-1}$ de $n^{th}$ el poder no tienen efecto por lo tanto, la reduce a $$\begin{eqnarray*} \left(\frac{α}{αn}\right)^x n^x&= &\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-1} (x n^{x-1}) \\ &= &x\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-2} \left( \frac{α}{αn}n^{x-1} \right) \\ &= &x\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-2} \left({{x-1}\choose 1}n^{x-2}+{{x-1}\choose 2}n^{x-3}+...+{{x-1}\choose {x-2}}n+{{x-1}\choose {x-1}}\right) \end{eqnarray*}$$ Este reducir en $$\begin{eqnarray*} \left(\frac{α}{αn}\right)^x n^x&= &x\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-2} ((x-1) n^{x-2}) \\ &= &x(x-1)\left(\frac{α}{αn}\right)^{x-2} n^{x-2} \\ \end{eqnarray*}$$ de continuar vamos a conseguir $$\begin{eqnarray*} \left(\frac{α}{αn}\right)^x n^x=x(x-1)(x-2)(x-3)...(3)(2)(1)=x! \end{eqnarray*}$$ comentario si tiene alguna duda o error