Mi topología profesor nos pidió a dar una topología en la que cada singleton es $G_{\delta}$, sin embargo, no es la primera contables. He encontrado un ejemplo, pero ya que me gusta la teoría de conjuntos, pensé que iba a tratar de ser creativo, y observar la co-$<\aleph_{\omega}$ topología (es decir, el abierto de conjuntos es el conjunto vacío y los conjuntos que tienen los complementos de menor cardinalidad que el espacio). Parece un singular cardenal podría trabajar aquí, debido a sus interesantes propiedades, y de hecho cada singleton es $G_{\delta}$. Pero no puedo, por la vida de mí, probar o desmentir si esta topología tiene una contables locales de base para cada punto. Pensé por primera vez que una buena colección de conjuntos que no podían ser todos los contenidos en un elemento de una contables de la colección de es $\aleph_{\omega}\setminus\{\aleph_{n}+\alpha\mid n\in\mathbb N\}$ donde $\alpha$ corre a través de todo el espacio, pero este salió por la culata, ya que $U_{i}=\aleph_{\omega}\setminus\{\aleph_{n}+j\mid j<\aleph_{i},n\in\mathbb N\}$ obras (una nota interesante aquí es que he descubierto que el pidgeonhole principio de "no" para el singular cardenales $\kappa$ y las funciones de $f:\kappa\rightarrow \lambda $ cuando $cf(\kappa)\leq\lambda$, ya que puede tener lugar de un elemento de $\lambda$ con $\kappa$ preimages, un elemento en $\lambda$ con $\beta\in cf(\kappa)$ imágenes para todos los $\beta$). Mi pregunta es, es este espacio de primera contables? Si es así, ¿cuál sería una base local para cada punto (si se demuestra que no es segundo contable, que es el mismo en co-topologías)? Si no, que la colección de bloques abiertos en esta topología refutar primera countability?
Respuestas
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Su intuición era correcta, el espacio que usted describe ist no contables. Tenga en cuenta que su pregunta es equivalente a la siguiente:
Deje $S=\{a\subseteq\aleph_\omega\mid \aleph_\omega\setminus a\in\mathcal P_{\aleph_\omega}(\aleph_\omega)\}$. No $(S, \supseteq)$ tienen una contables subconjunto denso?
Voy a argumentar que la respuesta es no. Supongamos $D$ es un conjunto. Wlog, podemos suponer que la $D=\{d^n_m\mid n,m<\omega\}$ donde $c^n_m:=\aleph_\omega\setminus d^n_m$ tiene el tamaño de $\aleph_n$. Como $\aleph_{n+1}$ es regular tenemos que $(\bigcup_{m<\omega} c^n_m)\cap\aleph_{n+1}$ está delimitado en $\aleph_{n+1}$, dicen que es delimitada por $\beta^n<\aleph_{n+1}$. Ahora $a=\aleph_\omega\setminus\{\beta^n\mid n<\omega\}$ proporciona un contraejemplo a la densidad de $C$: Para cualquier $n, m<\omega$, $\beta^n\in d^n_m\setminus a$!
Una ligera modificación de este argumento muestra que, en realidad, $(S, \supseteq)$ no tiene un subconjunto denso de tamaño ${<}\aleph_\omega$.Así que tengo que decir, este espacio es un muy buen ejemplo para su ejercicio: No sólo no hay punto de tener un local de la base de que es contable, ningún punto tiene una base local de tamaño menor que $\aleph_\omega$!
Directamente va para la pregunta en la frase 1, que originó todo:
Deje $X$ ser una contables subconjunto denso de $\{0,1\}^\mathbb{R}$ (puedo demostrar su existencia aquí, por ejemplo). A continuación, $X$ es $T_4$, separables, Lindelöf y cada punto es un $G_\delta$ trivialmente (complementos de singleton están abiertos..) y todos los puntos tienen un tamaño continuo mínimo de base local. El ultrafilter espacio que también se construye en esa respuesta también el trabajo (pero solo tiene un punto de no ser los primeros-countability, aquí tenemos todos de ellos, para mostrar que es posible).
