$\text{SL}(2,\mathbb{R})$ es homeomorfo a$S^1 \times \mathbb{R}^2$

Question

El uso de la izquierda de la acción de $\text{SO}(2)$ a $\text{SL}(2,\mathbb{R})$, mostrar que $\text{SL}(2,\mathbb{R})$ es homeomórficos a $S^1 \times \mathbb{R}^2$

Traté de definir la acción por $\psi: \text{SO}(2) \times \text{SL}(2,\mathbb{R}) \to \text{SL}(2,\mathbb{R})$ por $(A,B) \mapsto AB$.

El núcleo de este mapa son los pares de $(A,A^{-1})$ tal que $A \in \text{SO}(2)$.

Claramente este mapa es surjective, así que yo quería mostrar que ahora puedo encontrar un canónica homeomorphism $\phi: \text {} (2) \times \text{SL}(2,\mathbb{R})/ \ker \psi \S^1 \times \mathbb{R}^2$. For instance, maybe the map $(a,B)\ker\psi \mapsto (A,(\cos xb_{1,1} -\sin xb_{1,2}, \pecado xb_{2,1} +\cos xb_{2,2}))$ where $Un$ is rotation by $x$.

Sin embargo, no estoy del todo seguro de que esto está bien definido, e incluso si es así, si es inyectiva y abierto.

El uso de la teoría de la Mentira de los grupos, ¿cómo debo enfocar este problema?

Answer 1

¿Sabe usted de descomposición QR ?

Divide cualquier matriz $M$ bajo la forma de $M=QR$ donde $Q$ es ortogonal y $R$ es triangular superior con positivo de las entradas de su diagonal (así, con $\det R >0$). Esta factorización se conoce a existir y a ser único, si $M$ es invertible.

Ahora consideremos $2 \times 2$ matrices $M$ con determinante $1$ (esto puede ser asumida si $M \in SL_2(\mathbb{R})$ ; ver comentario abajo). Como $\det(R)=\det(M)/\det(Q)=\pm 1$ ( $+1$), esta descomposición toma la forma :

$$\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\\sin \theta & \ \ \ \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&1/a\end{pmatrix} \ \ \text{for certain real numbers} \ \theta \in [0,2\pi],a>0,b \tag{1}$$

Uno podría objetar que hemos tomado una matriz de rotación para $Q$ y no a la izquierda la posibilidad de una simetría de la matriz. Pero este último caso es imposible debido al hecho de que $\det M = \det Q \times \det R >0$.

(1) representa la miró-para homeomorphism.

Nota : hay otra manera de considerar la $M \in SL_2(\mathbb{R})$ como una clase de equivalencia de invertible definido arriba-a-a-de múltiples constante de la matriz ; en este caso, se puede tomar como representativo de esta clase de una matriz que tiene determinante $1$, y estamos de vuelta a la propiedad de arriba.

Iwasawa descomposición mencionado por @Moishe Kohan está vinculado a la descomposición QR ; ver por ejemplo este (alto nivel) artículo en conexión (tu pregunta) con la Mentira de los grupos.