¿Cómo probar que$\sum_{i=1}^{p-1}\sqrt[p]{\frac{i}{p}} $ es un entero algebraico?

Question

Cuando leo un libro introductorio de teoría de números algebraicos, hay un problema como este:

Si $p$ es un primo impar, pruebe que $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1}\sqrt[p]{\frac{i}{p}} $ es un entero algebríaco.

Tenga en cuenta que está en el primer capítulo, así que creo que no requiere mucho conocimiento, pero no tengo idea de cómo resolverlo.

Answer 1

Es suficiente para demostrar que $$ \alpha = \sqrt[p]{\frac{i}{p}} + \sqrt[p]{\frac{p-i}{p}} $$ es un entero algebraico para $1\leq i\leq (p-1)/2$, debido a que la suma es la suma de dichos números. Tenemos $$ \alpha^{p} = \frac{(\sqrt[p]{i} + \sqrt[p]{p-i})^{p}}{p} = \frac{1}{p} \left(i + (p-i) + \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}^{k/p}(p-i)^{(p-k)/p}\right) \\= 1 + \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{p}\binom{p}{k}^{k/p}(p-i)^{(p-k)/p}. $$ Desde $\binom{p}{k}$ es un múltiplo de a$p$ para $1\leq k\leq p-1$ e $i^{k/p}, (p-i)^{(p-k)/p}$ son obviamente algebraica de los números enteros, por lo que es $\alpha^{p}$. Por lo $f(\alpha^{p}) = 0$ para algunos monic $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, lo que implica que $g(\alpha) = 0$ para $g(x) = f(x^{p})$, lo cual es claramente monic. Por lo tanto $\alpha$ es un entero algebraico.

Answer 2

Para mostrar esta suma ( $S$) es un entero algebraico, usted quiere encontrar una monic polinomio que hace que esta suma se desvanecen. Usted puede usar un par de hechos sobre algebraica de números enteros:

1. Si para algunos entero $k$, un número $\alpha^k$ es un entero algebraico, a continuación, $\alpha$ es un entero algebraico: tome $P$ monic con el entero tal que el coeficiente de $P(\alpha^k) = 0$, a continuación, $Q = P \circ X^k$ es también monic, con coeficientes enteros, tal que $Q(\alpha) = 0$.
2. Cualquier cantidad de la forma $\sqrt[a]{b}$ para $a$ e $b$ números enteros es un entero algebraico: es la raíz de $X^a - b$.
3. La suma de dos algebraica de números enteros es un entero algebraico. Usted probablemente encontrará una prueba de este hecho en su libro de texto, el ingrediente principal es que un número $\alpha$ es un entero algebraico si y sólo si $\mathbb{Z}[\alpha]$ es un finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulo, de modo que $\mathbb{Z}[\alpha + \beta]$ es un submódulo de $\mathbb{Z}[\alpha][\beta]$, que es finitely generados, por lo que $\mathbb{Z}[\alpha + \beta]$ es finitely generado, por lo tanto $\alpha + \beta$ es un entero algebraico.

Ahora, para mostrar $S$ es un entero algebraico, es suficiente para demostrar que S por lo que una alimentación adecuada es una suma de conocidos algebraica de los números enteros. Esta alimentación adecuada es, obviamente, $p$: \begin{align} S^p &= \left(\sum\limits_{k=1}^{p-1}\sqrt[p]{\frac{k}{p}}\right)^p\\ &= \sum\limits_{i_1 + \cdots + i_{p-1} = p}\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}}\prod\limits_{j=1}^{p-1}\left(\sqrt[p]{\frac{j}{p}}\right)^{i_j}\\ &= \sum\limits_{i_1 + \cdots + i_{p-1} = p}\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}}\left(\sqrt[p]{\prod\limits_{j=1}^{p-1}\frac{j^{i_j}}{p^{i_j}}}\right)\\ &= \sum\limits_{i_1 + \cdots + i_{p-1} = p}\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}}\left(\sqrt[p]{\frac{\prod\limits_{j=1}^{p-1}j^{i_j}}{p^{\sum\limits_{j=1}^{p-1}i_j}}}\right)\\ &= \sum\limits_{i_1 + \cdots + i_{p-1} = p}\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}}\sqrt[p]{\frac{\prod\limits_{j=1}^{p-1}j^{i_j}}{p^{p}}}\\ &= \sum\limits_{i_1 + \cdots + i_{p-1} = p}\frac{1}{p}\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}}\sqrt[p]{\prod\limits_{j=1}^{p-1}j^{i_j}}\\ \end{align}

Pero $p$ divide $\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}}$ si no es $i_j$ igual a $p$, de hecho, $\dbinom{p}{i_1,\cdots,i_{p-1}} = \frac{p!}{i_1!i_2!\cdots i_{p-1}!}$, mirando a $p$-valoraciones, si no $i_j$ es $p$, a continuación, $p$ se divide este coeficiente.

Para el resto de los coeficientes, se tiene la suma \begin{align} \sum\limits_{j=1}^{p-1}\frac{j}{p} &= \frac{p(p-1)}{2p}\\ &= \frac{p-1}{2} \end{align} que es un entero debido a $p$ es impar.

Por lo tanto el $p$-ésima potencia de S es la suma de agebraic enteros. Por lo tanto, un entero algebraico, por el primer hecho enumerados anteriormente, $S$ es un entero algebraico.