Expectativa sobre una operación máxima

Question

Deje $X \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ ser un "no negativo" variable aleatoria y $c$ es un "dado" estrictamente número positivo. Me pregunto si la siguiente desigualdad se cumple: $$ E[\max\{X,c\}] \leq \max\{E[X],c\}, $$ donde $E[\cdot]$ es la expectativa.

Sospecho que a partir de la desigualdad de Jensen al revés debe ser cierto; pero desde el $c$ anterior es una cierta constante, todavía estoy (ingenuamente) la esperanza de que podría ser verdad.

Answer 1

Si $\text{max}(\mathbb{E}[X], c) = c$, $\text{max}(X,c) \geq c$, tenemos

\begin{align*} \mathbb{E}[\text{max}(X,c)] &\geq c \\ &\geq \text{max}(\mathbb{E}[X],c) \end{align*}

Cuando $\text{max}(\mathbb{E}[X],c) = \mathbb{E}[X]$ luego otra vez como $\text{max}(X,c) \geq X$ hemos

\begin{align*} \mathbb{E}[\text{max}(X,c)] &\geq \mathbb{E}[X] \\ &\geq \text{max}(\mathbb{E}[X],c) \end{align*}

De modo que la desigualdad es en realidad de otra manera

$$ \mathbb{E}[\text{max}(X,c)] \geq \text{max}(\mathbb{E}[X], c) $$

Answer 2

Similar a winperikle la respuesta, sólo apretando los argumentos un poco: $\max\{X, c\} \geq X$ e $\max\{X, c\} \geq c$. Así que, aprovechando la expectativa, $\text{E}\left(\max\{X, c\}\right) \geq \text{E} X$ e $\text{E}\left(\max\{X, c\}\right) \geq c$. La combinación de, obtenemos $\text{E}\left(\max\{X, c\}\right) \geq \max \{\text{E} X, c\}$.

Estos argumentos pueden ser generalizados a mostrar que para una secuencia de a$\mathcal{L}_1$ variables aleatorias $(X_n)_{n\geq 1}$, $\text{E} \left(\sup_{n \geq 1} |X_n| \right) \geq \sup_{n \geq 1} \text{E}|X_n|$.

Answer 3

La desigualdad que han afirmado que es falso: Un simple contador-ejemplo es $X \sim \text{Bin}(2,\tfrac{1}{2})$ e $c=1$, lo que le da la expectativa:

$$\mathbb{E}(\max(X,c)) = \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{5}{4}.$$

Para esta contra-ejemplo tenemos:

$$\frac{5}{4} = \mathbb{E}(\max(X,c)) > \max(\mathbb{E}(X),c) = 1.$$

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Hay una relacionada con la desigualdad que es cierto: Aunque la desigualdad ha afirmado que es falso (o al menos, no es cierto en general), la siguiente alternativa desigualdad es verdadera:

$$\mathbb{E}(\max(X,c)) \geqslant \max(\mathbb{E}(X), c).$$

Esta desigualdad puede ser fácilmente comprobado ya sea para el discretos o continuos (o mixto). Para una variable aleatoria discreta tiene:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\max(X,c)) &= \sum_{x \in \mathscr{X}} \max(x,c) \cdot p_X(x) \\[8pt] &\geqslant \sum_{x \in \mathscr{X}} x \cdot p_X(x) = \mathbb{E}(X). \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Usted también tiene:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\max(X,c)) &= \sum_{x \in \mathscr{X}} \max(x,c) \cdot p_X(x) \\[8pt] &\geqslant \sum_{x \in \mathscr{X}} c \cdot p_X(x) = c. \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Poniendo a estos en conjunto da la desigualdad.

Answer 4

Sea X uniforme en (0, 5) yc = 2. Aquí tienes un contraejemplo con cada lado de la desigualdad de 3.5 y 2.5