Grupo de Galois del polinomio quíntico $X^5+X+1$

Question

Estoy tratando de encontrar el grupo de Galois del polinomio $p(X)= X^5+X+1$ en $\mathbb Q$ .

En primer lugar, se observa que, si $\omega$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, entonces es una raíz de $p(X)$ . Así que, $X^2+X+1$ es un factor de $p(X)$ . Tenemos la siguiente factorización: \begin{equation} p(X) = (X^2+X+1)(X^3-X^2+1). \end{equation} Ahora, la derivada de $p(X)$ es $p'(X) = X^4+1$ que siempre es positivo. Por lo tanto, $p(X)$ sólo tiene una raíz real, que es una raíz $\alpha$ de $X^3-X^2+1$ . Permítanme denotar por $\eta$ y $\overline{\eta}$ las otras dos raíces complejas de $X^3-X^2+1$ . Entonces, un campo de división de $p(X)$ en $\mathbb Q$ está claramente dada por \begin{equation} K = \mathbb Q(\alpha, \omega, \eta). \end{equation} A continuación, tengo que calcular el grado $[K : \mathbb Q]$ de la extensión. Es sencillo demostrar que $[\mathbb Q(\alpha, \eta) : \mathbb Q] = 6$ De hecho, $\mathbb Q(\alpha, \eta)$ es un campo de división de $X^3-X^2+1$ en $\mathbb Q$ y este polinomio sólo tiene una raíz real. Por lo tanto, trato de calcular de la siguiente manera: \begin{equation} [K : \mathbb Q] = [K : \mathbb Q(\alpha,\eta)][\mathbb Q(\alpha, \eta) : \mathbb Q]. \end{equation} Aquí viene mi problema: claramente, el grado $[K : \mathbb Q(\alpha,\eta)]$ es $1$ o $2$ . Se trata de entender si $\omega \in \mathbb Q(\alpha, \eta)$ o no, y soy incapaz de dar una respuesta. Creo que en realidad $[K : \mathbb Q(\alpha,\eta)] = 2$ y que eventualmente se puede demostrar que el grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K | \mathbb Q)$ es isomorfo a $S_3 \times C_2$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

La única subextensión cuadrática de $\Bbb Q \subset \Bbb Q(\alpha,\eta)$ viene dado por el subcampo fijado por el índice $2$ subgrupo $A_3$ de $S_3$ . Se genera mediante $(\alpha-\eta)(\eta-\bar{\eta})(\bar{\eta}-\alpha)$ que es la raíz cuadrada del discriminante $\Delta$ de $X^3-X^2+1$

Un cálculo da $\Delta = 23$ . Desde $\Bbb Q(\sqrt{23})$ y $\Bbb Q(\sqrt{-3})$ son extensiones diferentes, $\sqrt{-3} \notin \Bbb Q(\sqrt {23})$ y así $\sqrt{-3} \notin \Bbb Q(\alpha,\eta)$