¿Cuándo es cierto este teorema de reorganización para las integrales?

Question

Bernhard Riemann demostró que si $(a_n)$ es una secuencia en $\mathbb{R}$, entonces la suma de la serie infinita $\Sigma_{n=1}^\infty a_n$ permanece igual independientemente de cómo reorganizar los términos si y sólo si la serie $\Sigma_{n=1}^\infty |a_n|$ es convergente. Me gustaría ver si algo análogo para las integrales es cierto.

Mi pregunta es, por lo que las funciones de $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ es cierto que $\int_a^b f(g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx$ para todos los bijective funciones de $g:[a,b]\rightarrow[a,b]$?

O es que también los estrictos requisitos de la condición de ser interesante, y qué necesitamos para imponer algunas condiciones en $g$ a un resultado significativo?

Answer 1

Una isometría en un espacio de Banach es lineal en el mapa de $T$ tal que $||Tf||=||f||$ para todos los $f$ en el espacio, donde la $||\cdot||$ es justo lo que norma el espacio de Banach está equipado con. (En particular, un único operador es un bijective isometría.)

En el espacio de secuencias de $\ell^1$ de las secuencias cuyas sumas convergen, la norma $||\cdot ||_{\ell^1}$ de una secuencia es sólo la suma de sus términos. Una base en la que podemos aplicar para el espacio de Banach es el conjunto de secuencias indexados por $n\in \mathbb{N}$ que son cero en todas partes excepto por una $1$ en la $n$º lugar (de manera similar a cómo lidiar con finito-dimensional espacios vectoriales, aunque esta es una base de Schauder y es un poco diferente a lo finito-dimensional Hamel bases que podría estar más familiarizado con). A continuación, re-arreglo de los términos de la secuencia puede ser representado por el lineal mapa que reorganiza los vectores de la base, y puede ser demostrado ser una isometría de este hecho. Por la definición de que es una isometría, entonces, el valor de la suma de la secuencia después de que sus términos se reorganizan es el mismo que el valor de la suma de la secuencia antes de que se re-ordenadas. Hay más isometrías que sólo estos, de forma que la nueva disposición es el teorema más general de lo que podría parecer a primera vista!

Del mismo modo, en el espacio de funciones integrables $L^1$ (y, en particular, $L^1[a,b]$ de las funciones de integrable en ese intervalo), la norma $||\cdot||_{L^1}$ es simplemente la integral de (valor absoluto) de la función (en el intervalo). Así que una isometría aquí es definitionally cualquier lineal mapa sentido de que la aplicación de la misma a una función no cambia el valor de la función integral, que parece ser bastante exactamente lo que buscamos aquí. Cualquier función integrable se preserve su valor después de la aplicación de una isometría (en $L^1$), lo que parece ser exactamente paralelo de la secuencia de reordenamiento del teorema se preguntó acerca de.

Gracias por esta pregunta, creo que sólo me ayudó a comprender esta contenido en un nivel más profundo también.

Curiosamente, debido a las dimensiones infinitas de la naturaleza de estos espacios de Banach que el "reordenamiento" que ni siquiera necesita ser bijective/un operador unitario, sólo necesita ser una isometría! En $\ell^1$ uno de esos isometría es sólo el mapa que toma el valor de cada base de vectores de la "próxima" a unos y deja un $0$ en la primera posición (básicamente anteponiendo un $0$ al inicio de cada secuencia); la suma de esta secuencia es exactamente el mismo, salvo con un $0+\dots$ anexa a la de inicio.

Así, cualquier función con la integral de tiempo finito puede ser "reorganizado" y mantener su valor si y sólo si el "reordenamiento" es una isometría.