El término "genérico" se utiliza en el modelo de la teoría para diferentes (pero estrechamente relacionadas) nociones. Debido a las analogías y conexiones entre estos conceptos son tan fuertes, yo creo que este es un caso donde la sobrecarga de la terminología es útil. Pero esto significa que usted siempre debe buscar la aclaración de qué es exactamente lo que se entiende por "genérico" en cualquier situación dada.
El modelo de compañero / existencialmente estructuras cerradas. Así que si $T$ es inductivo, es decir, $\forall\exists$-axiomatizable, la teoría, luego un "modelo genérico de $T$" es un existencialmente modelo cerrado de $T$, y la "teoría de los modelos genéricos de $T$" es el modelo de compañero de $T$.
Fraïssé límites. Así que si $K$ es un Fraïssé clase, entonces sus asociados "estructura genérica" es su Fraïssé límite. Desde Fraïssé límite es una perfectamente buena (y más precisa) largo plazo, por lo general, escuchar la terminología de la "estructura genérica" que se utiliza en el contexto de una de las muchas variaciones en la noción de Fraïssé clase que aparecen en la literatura (como en dav11 la respuesta).
Creo que estos usos se derivan del significado de "genérico" en topología general. Aquí una propiedad (de puntos en un espacio) se llama "genérico" si el conjunto de todos los puntos de la satisfacción de esta propiedad es comeager. Así que a veces, usted verá:
- En un entorno en el que las estructuras de un cierto tipo pueden ser vistos como puntos en un agradable espacio topológico, una "estructura genérica" de ese tipo es una estructura cuya isomorfismo clase es comeager.
En niza situaciones (pero ciertamente no todos), los usos anteriores de "genérico" de acuerdo. Por ejemplo, si $K$ es un Fraïssé clase en un número finito relacional del lenguaje, a continuación, $K$ es la clase de todos los modelos finitos de un universal de la teoría de la $T$, y el conjunto de todos los modelos de $T$ dominio $\omega$ es naturalmente visto como un espacio polaco. Dejando $M$ ser el Fraïssé límite de $K$, el isomorfismo de la clase de $M$ es comeager en este espacio, y $M$ es el único modelo contable hasta el isomorfismo de la modelo compañero de $T$.
También es posible que el término "genérico" entró en el modelo de la teoría a través de forzamiento. A un Fraïssé clase $K$ o a una teoría inductiva $T$, se puede asociar el posets (por ejemplo, $K$ con la subestructura de la relación), de tal manera que forzar con estos posets produce un filtro genérico que codifica una Fraïssé límite de $K$ o un existencialmente modelo cerrado de $T$, respectivamente. Por supuesto, estas "estructuras genéricas" ser isomorfo a las estructuras del modelo de terreno, por lo que no hay conjunto teórico de la independencia pasando aquí, y en realidad no tenemos que apelar a la maquinaria de forzar. Este tipo de "fácil forzar" con estructuras va por el nombre de "modelo de la teoría de la fuerza" - tiene como casos especiales de la Fraïssé límite de la construcción y la construcción de existencialmente cerrado modelos.
Por supuesto, el significado de "genérico" en forzar también está estrechamente relacionado con el significado de "genérico" en la topología. Así que esta es otra cara de la misma moneda.
Finalmente, en la terminología:
Usted escribió "por lo general toda la teoría de la $\mathcal{M}$ se llama el genérico modelo de grafos aleatorios". Creo que quiso decir "por lo general toda la teoría de la $\mathcal{M}$ se llama el genérico de la teoría de grafos aleatorios". Pero yo no lo llamaría cualquiera de estas cosas. Para mí, el azar gráfico es un particular countably infinito gráfico (hasta el isomorfismo), y su teoría se llama "la teoría del azar gráfico" o "los genéricos de la teoría de grafos".
Yo sólo pluralizar "grafos aleatorios" si yo estábamos hablando de los gráficos seleccionados de algún proceso aleatorio (no necesariamente el Erdös-Rényi proceso que produce el azar el gráfico de probabilidad $1$). Así que no me llama innumerables modelos de los genéricos de la teoría de grafos "grafos aleatorios".
Porque surge como una Fraïssé límite, el "azar gráfico" también podría razonablemente ser llamado el "genérico gráfico". Por supuesto, es el llamado "random gráfico" porque surge con una probabilidad de $1$ a partir de un natural proceso aleatorio. A veces la gente aplica el adjetivo "al azar" para otros Fraïssé límites de la analogía con el azar gráfico, por ejemplo, "random triángulo de libre gráfico" o "aleatoria de orden parcial". Creo que es mucho mejor decir "genérico triángulo de libre gráfico" o "genérico de orden parcial" en estos casos, ya que estas estructuras no surgen con una probabilidad de $1$ desde cualquier particularmente natural proceso aleatorio. Por supuesto, la cuestión de lo que cuenta como "natural" proceso aleatorio es bastante interesante. Aún más interesante es la cuestión de cuándo "al azar" (medir) y "genérico" (categoría de Baire) de acuerdo, como en el caso de que el azar gráfico.
