$\Bbb Z[\sqrt{6}]$ no es una UFD

Question

Quiero mostrar que la $\Bbb Z[\sqrt{6}]$ no es un disco flash usb. Sabemos que este es un dominio de Dedekind. (Sugerencia: Para los ideales $\mathfrak{p}=(2,4+\sqrt{6})$, $\mathfrak{q}=(5,4+\sqrt{6})$, calcula el $\mathfrak{p}^2$, $\mathfrak{q}\bar{\mathfrak{q}}$, $\mathfrak{p}\mathfrak{q}$ e $\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{q}}$.)

Tenga en cuenta que $\mathfrak{p}^2=(4,8+2\sqrt{6},22+8\sqrt{6})$, $\mathfrak{q}\bar{\mathfrak{q}}=(5, 20-5\sqrt{6},20+5\sqrt{6})$, $\mathfrak{p}\mathfrak{q}=(10,8+2\sqrt{6},20+5\sqrt{6},22+8\sqrt{6})$, e $\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{q}}=(10,8-2\sqrt{6},20+5\sqrt{6})$. También, se observa que el $10=(4+\sqrt{6})(4-\sqrt{6})=(-1+\sqrt{6})(2+\sqrt{6})(1+\sqrt{6})(-2+\sqrt{6})$ e $10=2.5=(2+\sqrt{6})(-2+\sqrt{6})(-1+\sqrt{6})(1+\sqrt{6})$. Pero, esto no implica que $\Bbb Z[\sqrt{6}]$ no es un disco flash usb.

No estoy seguro de cómo utilizar la pista. Gracias!

Answer 1

$\mathbb Z[\sqrt 6]$ es de hecho una única factorización de dominio. Aviso, por un lado, que $\langle 2 \rangle$ e $\langle 4 + \sqrt 6 \rangle$ están contenidas en $\langle 2 + \sqrt 6 \rangle$. Como para $\langle 5, 4 + \sqrt 6 \rangle$, que resulta ser el de todo el anillo.

Tal vez quisiste $\mathbb Z[\sqrt{-6}]$ no UFD? En caso de que el ideal de la $\langle 2, \sqrt{-6} \rangle$ sería mucho más pertinente que la de $\langle 2, 4 + \sqrt{-6} \rangle$ o $\langle 5, 4 + \sqrt{-6} \rangle$.