Una caracterización de la convergencia débil en$L^p$ espacios

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema, estoy teniendo problemas con la dirección inversa. Mi pregunta está en negrita a continuación. También podría alguien comprobar mi dirección de avance?:

Deje $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ser $\sigma$ finito medir el espacio y $\{f_n\},f \in L^P(X)$. Demostrar que $f_n \rightharpoonup f$ en $L^p(X)$ fib $\|f_n\|_p \leq c$ para todos los $n$ e $\int_A f_n\, d\mu \rightarrow \int_A f \, d\mu$ para todos los $A$ con $\mu(A) < \infty$.

Para la dirección inversa, podemos utilizar las funciones características en $L^q$ construir funciones arbitrarias en $L^q$ y el uso de la Monotonía de Convergencia en $A$ equivale a una pelota. A continuación, aumentar el radio de la bola en cada paso de hacer error $\epsilon/2^n$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para ver cómo puedo utilizar el acotamiento de la secuencia de $f_n$)

(Para la dirección de avance, la elección de $\chi_{A}\in L^q(X)$ va a obtener la integral de la condición y de la $\|f_n\|_p$ fueron delimitadas porque la secuencia originalmente vivían en $L^p(X)$.)

Answer 1

Aquí es cómo el acotamiento de la secuencia de $\{f_n\}$ debe ingresar su argumento en la dirección inversa:

Deje $g\in L^q$. Quiere mostrar que $\int f_n g\, d\mu \rightarrow \int f g \,d\mu$. Con este fin, la construcción de una secuencia de funciones simples $g_m$ tal que $g_m\rightarrow g$ fuertemente en $L^q$ (supongo que esto es lo que significa "construir"). Se puede entonces deducir

$$ \begin{split} \left|\int (f_n-f) g\, d\mu \right| &\leq \left|\int (f_n-f) (g-g_m)\, d\mu \right| + \left|\int (f_n-f) g_m\, d\mu\right|\\ &\leq \|f_n-f\|_p\|g-g_m\|_q + \left|\int (f_n-f) g_m\, d\mu\right| \\ &\leq (\|f_n\|_p+\|f\|_p)\|g-g_m\|_q + \left|\int (f_n-f) g_m\, d\mu\right| \\ &\leq (C+\|f\|_p)\|g-g_m\|_q+ \left|\int (f_n-f) g_m\, d\mu\right| <\epsilon \end{split} $$

para $n$ suficientemente grande, proporcionado $\|f_n\|_p$ está delimitado por $C$. Más precisamente, primero elija $m$ lo suficientemente grande para que el primer término de arriba es menos que, digamos, $\frac{\epsilon}{2}$, a continuación, elija $n$ lo suficientemente grande para que el segundo término anterior es menos de $\frac{\epsilon}{2}$.

P. S. debe incluir los supuestos en $p$. Estoy asumiendo $p\in(1,\infty)$.

Answer 2

Esta respuesta va a tratar solo con la implicación puesto que usted tiene una buena respuesta, el trato con el otro.

En primer lugar, vamos a mostrar que la debilidad de la convergencia implica acotamiento de las normas. Esta es la verdad en espacios de Banach, en general, de esencialmente la misma idea pero voy a trabajar en este caso especial.

Recordemos que $L^p(X)^*$ es isométricamente isomorfo a $L^q(X)$ donde $p^{-1} + q^{-1} = 1$. En particular, podemos identificar cada una de las $f_n$ con un funcional lineal $\phi_n$ a $L^q$ definido por $$\phi_n(g) = \int_X f_n g d\mu$$ y ha $\|f_n\| = \|\phi_n\|$.

Ahora buscamos aplicar el uniforme fronteridad el teorema de la familia $\{\phi_n\}_{n \geq 1}$. Para hacer esto, observe que fija $g \in L^q(X)$, $\phi_n(g) \to \int_X fg d\mu$ por la debilidad de la convergencia de $f_n$. Desde secuencias convergentes en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$) están delimitadas esto implica que $|\phi_n(g)|$ es un almacén de secuencia para cada una de las $g \in L^q(X)$.

A su vez, por el Acotamiento Uniforme Teorema, tenemos que $\sup_n \|f_n\| = \sup_n \|\phi_n\| < \infty$.

La segunda parte es inmediata desde $1_A \in L^q(X)$ , de modo que $$\int_A f_n d \mu = \int_X 1_A f_n d \mu \to \int_X 1_A f d \mu = \int_A f d \mu$$ por la debilidad de la convergencia.

Answer 3

Para la dirección de avance:

Definir $T_n(g):=\int_X f_n g$ a ser una familia de operadores lineales en $L^q$. También, definir $T(g):=\int_X f g$. A continuación, para cada una de las $g,$

$$ |(T_n-T)(g)|\leq ||f_n-f||_p ||g||_q<C(g). $$ Nota esta obligado depende de $g,$ pero no $n$ porque $f_n$ converge a $f$ en $L^p.$ Por el acotamiento uniforme teorema, la dependencia de la $g$ puede desaparecer y por lo $||T_n-T|| \to 0$ en el operador de la norma. Por dualidad, $||T||=||f||_p$ e $||T_n||=||f_n||_p.$ por lo Tanto, para grandes $n,$ tenemos $||T_n||<||T||+\epsilon$. Esto es equivalente a $||f_n||_p < ||f||_p + \epsilon.$ La segunda parte es trivial por el Titular de la desigualdad.