En "Un elemento de un conjunto nunca puede ser un subconjunto de sí mismo", ¿qué significa "sí mismo"?

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de los conjuntos. Mi primer idioma no es el inglés. Estoy en la escuela secundaria.

He aquí un ejemplo de problema que he encontrado en mi libro de texto:

Ejemplo 11: Deje $A, B$ e $C$ tres conjuntos. Si $A∈B$y $B⊂C$, es cierto que $A⊂C$? Si no, dar un ejemplo.

Solución: No. Deje $A=\{1\}, B=\{\{1\}, 2\}$ e $C=\{\{1\}, 2, 3\}$. Aquí $A∈B$ como $A=\{1\}$ e $B⊂C$. Pero $A⊄C$ como $1∈A$ e $1∉C$.

Tenga en cuenta que un elemento de un conjunto no puede ser nunca un subconjunto de sí mismo.

El enlace para el libro de texto del capítulo.

¿Qué significa "sí mismo" aquí? Qué significa que un elemento de un conjunto que no puede ser es propio (el elemento) subconjunto?

O ¿eso significa que un elemento no puede ser tanto un elemento y un subconjunto de un conjunto al mismo tiempo?

Si $P=\{p\}, Q=\{\{p\}, q\}$, e $R=\{\{p\}, q, r\}$, podemos decir que $P∈Q$. Pero, ¿podemos decir que tanto $Q∈R$ e $Q⊂R$ son verdaderas? Es así que $Q$ no puede ser tanto un elemento y un subconjunto de a$R$? Es $\{\{p\}, q, r\}$ no es el mismo que $\{p, q, r\}$?

Answer 1

Ambas interpretaciones son sensatas. Por desgracia, ambas interpretaciones son declaraciones falsas! Ese comentario es simplemente errónea. (No es tu culpa, es el autor de la culpa)

Por ejemplo: su primera interpretación es la siguiente:

Si $A$ es un conjunto, y $x\in A$ es un elemento de $A$, a continuación, $x$ no puede ser un subconjunto de a$x$.

Pero lo que es falso. En la Teoría de conjuntos, conjuntos de elementos de otros juegos, y cada conjunto es un subconjunto de sí mismo. Por lo $x$ puede ciertamente ser un subconjunto de sí mismo. Por ejemplo, si $A=\{\{1\},\{2\}\}$, a continuación, $x=\{1\}$ es un elemento de $A$, e $x$ es un subconjunto de sí mismo.

La segunda interpretación es la siguiente:

Si $A$ es un conjunto, y $x\in A$, a continuación, $x$ no puede ser un subconjunto de a$A$.

Pero que es también falso. De hecho, hay toda una clase de juegos, conocidos como "conjunto transitivo", con la propiedad de que cada elemento es también un subconjunto. Por ejemplo, el conjunto de $A=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, cuyos elementos son: (i) el conjunto vacío y (ii) el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío; tiene la propiedad de que cada uno de sus elementos es, además de ser un elemento de $A$, también un subconjunto de a$A$.

En resumen: no estoy seguro de lo que el autor quiso decir con ese comentario, pero tanto naturales interpretaciones son falsas.

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Lo que es cierto es que, en general, si $A$ es un conjunto y $x\in A$ es un elemento de $A$, entonces usted no puede decir, a partir de estos hechos por sí solos, si $x$ es un subconjunto de a$A$ o no; y si la teoría de conjuntos permite que los objetos que no son conjuntos ("ur-elementos"), a continuación, usted no puede saber si $x$ es un subconjunto de sí mismo o no.

También es cierto que en muchas conjunto de teorías, uno no puede tener un conjunto de ser un elemento de sí mismo: es decir, usted nunca puede tener la $A\in A$. (Pero no son conjunto de teorías donde esto es válido, sin embargo...)

Answer 2

Ayuda a pensar en las llaves $\{\}$ como bastante literal. Así que si $P=\{p\}$, $Q=\{\{p\},q\}$, e $R=\{\{p\},q,r\}$, entonces:

• Cuando escribimos $Q=\{\{p\},q\}$, significa que el conjunto de $Q$ contiene los dos elementos $\{p\}$ e $q$. En símbolos, $\{p\}\in Q$ e $q\in Q$. Desde $P=\{p\}$, podemos el intercambio de esas dos cosas, así que también podemos escribir $P\in Q$.
• La declaración "$P\subset Q$" significa "cualquier elemento de $P$ es un elemento de $Q$." Bien, $p$ es un elemento de $P$, pero no de $Q$.
• El conjunto $R$ contiene $\{p\}$, $q$, e $r$, e $Q$ contiene $\{p\}$ e $q$. Por lo tanto, $Q\subset R$. Sin embargo, $Q\notin R$, debido a $R$ no contiene el elemento $Q=\{\{p\},q\}$.

Como alguien señaló, no es cierto que si $x\in S$, a continuación, $x$ no es un subconjunto de a$S$, ni la declaración que si $x\subset S$, a continuación, $x\notin S$. El conjunto $\{1,\{1\}\}$ da un contraejemplo para ambos. La única verdad que puedo pensar es que un conjunto de $S$ nunca es un elemento en sí mismo. Nunca podemos tener $S\in S$.