¿Cuál es la intuición detrás de la continuidad uniforme?

Question

Hay otro post en el que se pregunta por la motivación de la continuidad de los uniformes. No me gusta mucho ya que el comentario más votado hablaba de las interacciones locales y globales de la información, y francamente no lo entendí.

Jugando con la definición, quiero decir que la continuidad uniforme implica que hay una "tasa media de cambio" máxima. No es literalmente una derivada, pero la tasa de cambio entre dos puntos está acotada en el dominio. Soy consciente de que esto es esencialmente continuidad Lipschitz, y que Lipschitz implica uniforme. Esto implica que hay algo más en la continuidad uniforme que simplemente tener una tasa de cambio media acotada.

Y también, ¿cómo es que $ f(x)=x$ es uniforme pero $f(x)f(x)=g(x)=x^2$ ¿no? Entiendo por qué no lo es, puedo demostrarlo. Pero no entiendo la motivación y la importancia de la continuidad uniforme.

Answer 1

La verdadera "esencia" de la continuidad, en sus diversas formas, es que es la "propiedad que hace que las calculadoras y las medidas sean útiles". Las calculadoras y las mediciones son fundamentalmente aproximado dispositivos que contienen cantidades limitadas de precisión. Las funciones especiales, como las que se colocan en los botones de una calculadora, si han de ser útiles, deberían llevar consigo algún tipo de "promesa" de que, si sólo conocemos la entrada con una cantidad limitada de precisión, al menos conoceremos la salida con algunos También es útil el nivel de precisión.

La continuidad simple es la forma más débil de esto. Nos dice que si queremos conocer el valor de una función objetivo $f$ dentro de una cierta tolerancia $\epsilon$ a un valor objetivo $x$ pero utilizando un valor aproximado $x'$ con una precisión limitada en lugar del valor real $x$ a la que podemos no tener acceso o conocer con precisión ilimitada, es decir, queremos

$$|f(x) - f(x')| < \epsilon$$

entonces podremos tener esa si podemos hacer nuestra medición de $x$ adecuadamente, es decir, podemos hacer que

$$|x - x'| < \delta$$

para algunos $\delta > 0$ que puede o no ser el mismo para cada $\epsilon$ y $x$ .

La continuidad uniforme es más fuerte. Nos dice que no sólo tenemos la propiedad anterior, pero de hecho el mismo $\delta$ umbral en $x'$ será suficiente para obtener $\epsilon$ de precisión en la aproximación de $f$ no importa qué $x$ es . Básicamente, si la función especial que me interesa es continua uniforme, y quiero una precisión de 0,001, y el máximo $\delta$ requerido para ello es, digamos, 0,0001, midiendo a ese mismo la tolerancia me asegura que siempre obtener una precisión de 0,001 en la salida no importa qué $x$ Estoy midiendo . Si, por el contrario, se diera el caso de que la función fuera meramente continua pero no uniforme, quizás podría medir en un valor de $x$ con una precisión de 0,0001 y esa precisión sería suficiente para obtener una precisión de 0,001 en la salida de la función, pero si estoy midiendo en otra, esa tolerancia podría darme sólo una precisión de 0,5. ¡Terrible!

La continuidad de Lipschitz es aún mejor nos dice que el error máximo en la aproximación $f$ es proporcional a la de la aproximación $x$ es decir $\epsilon \propto \delta$ De modo que si hacemos que nuestra medición sea 10 veces más precisa, digamos (es decir, una cifra significativa más), nos aseguramos 10 veces más precisión en la función (es decir, ganar una cifra significativa en la medición nos permite ganar una en el resultado de la función también).

Y de hecho, todas las funciones (que son analíticas reales, no funciones combinatorias como nCr y demás) en su calculadora de la vida real son al menos localmente Lipschitz continua, por lo que mientras este factor de proporcionalidad (efectivamente, absolutamente El número de cifras significativas que se obtienen para un número determinado de tales en la entrada) puede no ser el mismo en todas partes, pero puede estar seguro de que, en términos relativos, añadir 10 veces la precisión a sus medidas, es decir, una cifra significativa más, siempre hará que la aproximación (por muy buena o no que sea en realidad) devuelta por su calculadora sea 10 veces más precisa, es decir, también a una cifra significativa más.

Y por si fuera poco, todas estas formas de continuidad -al menos en su local variantes, es decir, sobre cualquier intervalo acotado- están implícitas en la diferenciabilidad.

Answer 2

Aunque me gusta mucho la respuesta de The_Sympathizer, ninguna de las respuestas describe mi intuición sobre cómo pienso en la continuidad uniforme.

La continuidad uniforme consiste en que los desplazamientos horizontales no cambien demasiado el gráfico

En el precálculo aprendemos a mover las gráficas. Si tenemos una función $f(x)$ entonces podemos desplazar la gráfica de la función hacia la derecha en un incremento $\Delta$ graficando la función $f(x-\Delta)$ .

A continuación, veamos la definición de continuidad uniforme. $f$ es uniformemente continua si para todo $\epsilon > 0$ Hay un poco de $\delta$ tal que para todo $x,x'$ , $$|f(x)-f(x')| < \epsilon$$ si $|x-x'|<\delta$ .

Otra forma de decir esto es dejar que $x' = x-\Delta$ y decir que cuando $|\Delta| < \delta$ entonces $|f(x)-f(x-\Delta)|<\epsilon$ .

Intuitivamente, $f$ es uniformemente continua si, al abombar la gráfica de $f$ a la izquierda o a la derecha por una cantidad suficientemente pequeña, entonces la distancia vertical entre el gráfico desplazado y el gráfico original también será pequeña.

Aquí está un ejemplo de cómo funciona en Desmos . El deslizador controla la cantidad de desplazamiento del gráfico. La función de la cuarta ranura mide la distancia vertical entre los gráficos. A menos que el desplazamiento sea cero, la distancia vertical entre el gráfico desplazado y el original siempre se va al infinito, y nunca está limitada, no importa lo pequeño que sea el desplazamiento. En otras palabras, $f(x)=x^2$ no es uniformemente continua, porque por muy pequeño que sea el desplazamiento a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función desplazada se aleja mucho de la gráfica de la función original.

Visión alternativa: La continuidad uniforme se refiere a la diferencia entre los desplazamientos horizontales y verticales

Otra forma (básicamente equivalente) de decirlo es comparando con los desplazamientos verticales.

Imagina la región delimitada por la gráfica de $f$ desplazado hacia arriba por $\epsilon$ y el gráfico de $f$ desplazado hacia abajo por $\epsilon$ . ¿Los pequeños desplazamientos horizontales del gráfico original se mantienen en esta región?

Si la respuesta es afirmativa, que los desplazamientos horizontales suficientemente pequeños permanecen en la región, entonces $f$ es uniformemente continua. Si la respuesta es no, no queda ningún desplazamiento horizontal no nulo en la región, entonces $f$ no es uniformemente continua.

Aquí hay un Desmos (de nuevo con $x^2$ ) para este punto de vista.

Answer 3

Me gustaría señalar un error en el planteamiento del problema:

... el índice de azar entre dos puntos está acotado en el dominio

Esto es incorrecto, la función $f:[0,\infty) \to [0,\infty)$ definido por

$$f(x)=\sqrt{x}$$

es uniformemente continua en todo el dominio $[0,\infty)$ a pesar de tener una derivada ilimitada cerca de $0$ . Para cualquier $\epsilon > 0$ podemos elegir $\delta=\epsilon^2$ que cumple la condición de continuidad uniforme:

$$|x_1 - x_2| \le \delta \Rightarrow |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}| \le \epsilon$$

La diferencia con casos como $y=x^2$ o $y=\tan(x)$ es que $f$ está a su vez acotado alrededor del punto en el que el límite de la derivada no está acotado.

Answer 4

Continuidad significa que para cada $x$ en el ámbito de $f$ y cada $\varepsilon>0$ Hay un $\delta>0$ tal que $$\lvert y-x\rvert<\delta\implies\bigl\lvert f(y)-f(x)\bigr\rvert<\varepsilon.$$ Según esta definición, $\delta$ puede depender tanto de $x$ y $\varepsilon$ .

Uniforme continuidad es cuando podemos elegir $\delta$ dependiendo sólo de $\varepsilon$ pero no en $x$ .

Answer 5

La continuidad uniforme significa simplemente que el giro de la gráfica es uniforme. De forma más intuitiva, la nitidez de los giros es algo limitado.

Si entiendes bien el significado de la definición de continuidad, mira la intersección de las cajas. Para la continuidad, en cada punto se obtiene un delta que puede cambiar si se modifica el punto de interés. Es decir, el tamaño de la caja cambia a medida que te mueves a lo largo de la curva. Pero si tu función es uniformemente continua entonces puedes mover la caja a lo largo de la curva sin cambiar el tamaño y aún así los puntos finales fuera de la diagonal estarán en la curva. (Fuente de la imagen: https://www.geeksforgeeks.org/mathematics-limits-continuity-differentiability/ )