¿Es$\mathbb{Z}_p [x]$ finito?

Question

Me parece que es. Hay sólo un número finito de distintas facultades de $x$ modulo $p$, por Fermat Poco Teorema (se $\{1, x, x^2, ..., x^{p-2}\}$), y el coeficiente que yo elija para cada uno de estos poderes sólo puede ser tomado de $\{0,1,2,..., p-1\}$. Así que, esencialmente, estoy eligiendo entre $p$ cosas $p-1$ muchas veces, lo que resulta en la mayoría de los $p^{p-1}$ distintos polinomios.

Sin embargo, la asignación de las reclamaciones que $\mathbb{Z}_p[x]$ es infinito.

Answer 1

Aquí está el fallo en su razonamiento: cuando se considere la posibilidad de $x$, la variable de su polinomio, $x$ es no tomarse a ser un número en $\mathbb Z_p$. De hecho, $x$ no es realmente un número de cualquier tipo, y el polinomio no está destinado a ser interpretado como una función, sino una especie de "algebraico " objeto". Piense en ello como una tupla con un número de entradas igual al grado del polinomio más uno.

Estás pensando en $\mathbb Z_p[x]$ como el conjunto de polinómicas funciones de $f:\mathbb Z_p\mapsto \mathbb Z_p$. Pero los polinomios no están definidos de esta manera. Ellos se definen sólo por sus coeficientes.

Por ejemplo, $$x^{p+1}+1= x+1$$ si $x\in\mathbb Z_p$, pero $$x^{p+1}+1\ne x+1$$ si los dos polinomios son considerados como elementos de $\mathbb Z_p[x]$.

Una última aclaración: $$\mathbb Z_p[x]=\{a_0+a_1 x+...+a_n x^{n}: a_i\in\mathbb Z_p, n\in\mathbb N\}$$ Sin embargo, usted podría haber pensado que $$\mathbb Z_p[x]=\{a_0+a_1 x+...+a_n x^{n}: a_i,x\in\mathbb Z_p, n\in\mathbb N\}$$

Answer 2

$\Bbb Z_p[x]$ es de hecho infinito, ya que contiene los polinomios con coeficientes en $\Bbb Z_p$, de arbitrario alto grado, por ejemplo, $x^n \in \Bbb Z_p[x]$, donde $n \in \Bbb N$; también, $x^n \ne x^m$ si $m \ne n$.

Fermat Poco Teorema, que $a^p = a$ para $a \in \Bbb Z_p$, ¿ no se aplican a la indeterminada $x \in \Bbb Z_p[x]$. $x \in \Bbb Z_p[x]$ e $a \in \Bbb Z_p$ son definitivamente "las aves de diferentes plumas" en este sentido.

Así, a pesar de $\Bbb Z_p$ es finito, $\Bbb Z_p[x]$ no lo es.

Answer 3

Si $p=3$, no es cierto que la $x=x^4$ en este ring $\mathbb Z_3[x]$. Sólo los coeficientes son mod $p$. Mientras $x^{p-1}$ podría ser el mismo que $1$ como una función, al menos en $\mathbb Z_p^*$, no es el mismo que el de un símbolo que representa la multiplicación de un indeterminado $x$ , de por sí, $p-1$ veces.

Answer 4

Usted podría tener $x^2\equiv x \bmod 2$ para los dos elementos $0$ e $1$. Así que esto es dentro de $\mathbb Z_2$.

Ahora tenga en cuenta que $x^2+x+1$ no tiene raíces en $\mathbb Z_2$, así que vamos a inventar, y llame a es $\alpha$, y habrá otro raíz de $\alpha+1$ debido a que la suma de las raíces es, a continuación, $\alpha+(\alpha+1)\equiv 1\equiv -1 \bmod 2$.

Este es el mismo proceso por el cual inventamos/construir/descubrir/lindan con una raíz del polinomio real $x^2+1$ y llamar a $i$.

Entonces nos encontramos con que $\alpha^2=\alpha+1$ (modulo $2$), de modo que los dos polinomios $x^2$ e $x$ ya no es el mismo cuando se le agregue el elemento $\alpha$ a la mezcla, incluso si todavía estamos trabajando modulo $2$. Este es un pequeño ejemplo de algo que se convierte en lugar común cuando se trata de analizar los polinomios y sus raíces.

Así que no, el $x$ e $x^2$ no están formalmente el mismo modulo $2$, como otros han dicho, pero lo más importante es que se comportan de manera diferente en importante algebraica de los contextos y de los asuntos que debemos distinguir.

Answer 5

$x^p-x$ es un grado $p$ polinomio. Mientras que para $a\in\mathbb Z_p$ hemos de Fermat poco teorema, $x^p=x$ no es cierto en general.

De hecho (por el teorema de factor), $p(x)=x^p-x$ tiene más de $p$ raíces.

Por lo $n\not=m\implies x^n\not=x^m$.

$\mathbb Z_p[x]$ es de hecho una de infinitas dimensiones espacio vectorial sobre $\mathbb Z_p$, con base $\{1,x,x^2,\dots\}$.

Por lo tanto es un conjunto infinito.