Independencia lineal para indeterminados

Question

Estoy tratando de demostrar que $\{1, x, x^2, ..., x^n\}$ es un conjunto linealmente independiente sin necesidad de agitar la mano y sin utilizar el hecho de que es una base para $P_n$ o el Teorema Fundamental del Álgebra.

Supongamos que $a_0 + a_1x + ... + a_nx^n = 0$ . ¿Cómo puedo mostrar $a_i = 0$ para $1 \leq i \leq n$ ?

Answer 1

Por inducción en $n$ . El caso $n=0$ es evidente. Supongamos el caso $n$ se mantiene. Supongamos que $a_0,...,a_{n+1}$ son constantes, y $P(x)=\sum_{j=0}^{j=n+1}a_jx^j=0$ para todos $x$ . Si $a_{n+1}=0$ esto se reduce al caso $n$ . Si $a_{n+1}\ne 0$ Obsérvese que $$x\ne 0\to P(x)=a_{n+1}x^{n+1}(1+Q(x))$$ $$\text {where } Q(x)=\sum_{j=0}^{j=n} \frac {a_j}{a_{n+1}} \frac {1}{x^{n+1-j}}.$$ Dejemos que $M=\max \{ \frac {|a_j|}{|a_{n+1}|} :0\leq j\leq n\}$ . Ahora bien, siempre que $|x|>\max (1,2 M (n+1))$ tenemos, para cada $0\leq j \leq n,$ $$|x^{n+1-j}|^{-1}|a_j|/|a_{n+1}|\leq |x|^{-1}M\leq 1/(2 (n+1)).$$ $$\text {This implies } |Q(x)|\leq 1/2$$ $$\text {which implies } |P(x)|\geq |a_{n+1}x^{n+1}|.(1-|Q(x)|)\geq |a_{n+1}x^{n+1}|/2>0.$$ Así que no podemos tener $a_{n+1}\ne 0$ y nos reducimos al caso $n$ de nuevo.