¿Por qué no es isomorfo$Z_2 \times Z_4$ a$Z_8$?

Question

$Z_2 \times Z_4$ tiene 8 elementos y, obviamente, también lo hace$Z_8$. ¿Cómo concluyes que no son isomorfos entonces? Esencialmente tienen una relación$1-1$

Answer 1

De hecho, ¿ hay una correspondencia uno a uno entre ellos (de hecho, hay $8!$ tales correspondencias). El problema es que ellos no tienen la "misma estructura", por lo que ninguna de estas correspondencias se homomorphisms, y por lo que no existe isomorfismo. Pero es tedioso en el extremo para comprobar tantas funciones para ver si alguno de ellos es un homomorphism, así que en lugar de hacer uso de una de las muchas propiedades que conservan bajo isomorphisms. Dos (relativa) de las propiedades son las siguientes:

1. isomorphisms preservar los pedidos de elementos (lo que significa que cualquier elemento se asigna a un elemento de la misma orden), y
2. isomorfo imágenes de grupos cíclicos son de nuevo cíclico de los grupos.

Estas dos propiedades son probablemente la forma más sencilla de demostrar que estos dos grupos no isomorfos, ya que (en particular) hay cuatro tipos diferentes de orden $8$ elementos de $\Bbb Z_8,$ pero no este tipo de elementos en $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_4.$, por tanto, se puede concluir que no son isomorfos por el hecho 1. Alternativamente, podemos notar que esto significa $\Bbb Z_8$ es cíclico y $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_4$ no es, de manera indirecta se puede concluir que no son isomorfos por hecho 2.

Hay muchas otras propiedades que podemos utilizar en otros casos. Es bueno tener a varios de ellos en mente. Como Marcar los puntos en los comentarios de la primera respuesta, sin embargo, la primera propiedad es una condición necesaria para que una función sea un isomorfismo, pero no es suficiente. Sin embargo, dos grupos cíclicos de la misma orden será necesariamente ser isomorfos. Desafortunadamente, la mayoría de los grupos no son cíclicos, por lo que esta propiedad no suele ser útil.

Answer 2

$\mathbb{Z}_8$ tiene un elemento de orden$8$, mientras que$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4$ no lo tiene.