En colectores enmarcados

Question

Deje $M$ $n$- dimensional compacta colector sin límite sentado en $\mathbb R^{n+k}$. Llamamos a $M$ enmarcadas si en cada punto de $x \in M$ existen vectores linealmente independientes $v_1, \dots, v_k$ que abarca el espacio normal en $x$ y varían suavemente con $x$. Un ejemplo sería el $2$-esfera en $\mathbb R^3$. Ahora, considere la botella de Klein. Parece bastante claro que la obvia la elaboración de las normales (en $\mathbb R^3$) no puede ser lisa: en un punto de la normal va a cambiar su dirección de 180 grados, la botella de Klein no es orientable. Sin embargo no es demasiado claro para mí si no hay que varían suavemente vectores normales para cualquier $k\neq 1$. Más en general, me estoy preguntando acerca de cómo probar la no-existencia de "framings" arbitraria liso cerrado colectores. Cómo probar un determinado liso cerrado colectores no es framable?

Answer 1

Una variedad enmarcada en$\mathbb R^{n+k}$ es necesariamente orientable. Considere el volumen canónico forma$\omega_0 = dx^1\wedge \dots \wedge dx^{n+k}$. Si$v_1, dots, v_k$ es un encuadre, entonces una forma de orientación en$M$ puede definirse por$$\omega(w_1, \dots, w_n) := \omega_0(v_1, \dots, v_k, w_1, \dots, w_n). En código uno, esto no solo es necesario sino también suficiente. En codimensión superior, hay obstrucciones adicionales, creo.