Prueba de que el grupo finito contiene un elemento de primer orden.

Question

Intenté probar la siguiente afirmación, pero me pareció demasiado fácil:

Deje que$G$ sea un grupo finito. Luego,$G$ contiene un elemento de primer orden.

Por favor, ¿podría alguien decirme si mi prueba es correcta o si me falta algo?

Deje que$g$ sea cualquier elemento de no identidad de$G$. Deje que$p$ sea un factor primo de$|g|$. Luego,$g^{|g|\over p}$ tiene la orden principal$p$. $\Box$

Answer 1

Sí. Esto es correcto. Para asegurarlo:

Si$|g|$ es primo, entonces hemos terminado. Deje que$p$ sea un factor primordial de$|g|$, para que$|g|>p$.

Dejar $h=g^{\frac{|g|}{p}}$. Luego$h^p=g^{|g|}=1$, lo que implica que el orden de$h$ divide$p$, por lo que es$1$ o$p$.

Si el orden de$h$ es$1$, esto significa,$h=1$, es decir,$g^{|g|/p}=1$, es decir,$|g|\leq |g|/p$, esto es una contradicción.

Answer 2

Tu respuesta es correcta, con un pequeño ajuste. Necesita la suposición de que$|G| > 1$, para que de hecho haya un elemento de no identidad$g$ para seleccionar. Aparte de eso, tu prueba es buena; De hecho, es una prueba fácil de una línea una vez que vea la clave.

Answer 3

No la prueba no es correcta. Es posible que $g^{\frac{|g|}{p}}=e$. El teorema que estás afirmando comúnmente se llama teorema de Cauchy. Hay una prueba elemental aquí usando la ecuación de clase.