Evaluar $(1+\cos\frac{\pi}{8})(1+\cos\frac{3\pi}{8}) (1+\cos\frac{5\pi}{8})(1+\cos\frac{7\pi}{8})$

Question

Cómo encontrar el valor de $$\left(1+\cos\frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos\frac{3\pi}{8}\right) \left(1+\cos\frac{5\pi}{8}\right)\left(1+\cos\frac{7\pi}{8}\right)$$

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He utilizado: $ 1+ \cos \theta=2\sin^2(\theta/2)$ para conseguir $$2^4 \cdot\prod_{n=0}^3 \sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{16}\right)$$

Después intenté usar la fórmula: $$\sin\left(1 \frac{\pi}n\right)\sin\left(2 \frac{\pi}n\right) \cdots \sin\left((n-1) \frac{\pi}n\right)= \frac n {2^{n-1}}$$

para encontrar el valor de la expresión en el paréntesis de la primera ecuación, pero actualmente estoy atascado. No creo que este método me lleve a la respuesta correcta.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

En primer lugar, observe que $\dfrac{7\pi }{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$ y también $\dfrac{5\pi }{8}=\pi-\dfrac{3\pi}{8}$ . Sustituyendo estos valores en la expresión original, obtendrás:

$$\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)\left(1+\cos {3\pi \over 8}\right)\left(1-\cos {3\pi \over 8}\right)\left(1-\cos {\pi \over 8}\right)$$

Utilizando la identidad algebraica obvia, se obtiene $$ \left(1-\cos^2 {\pi \over 8}\right)\left(1-\cos^2 {3\pi \over 8}\right)$$ Que no es más que eso:

$$\sin^2{\pi \over 8}.sin^2{3\pi \over 8}$$ Ahora, finalmente, observe que $ \dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ y utilizar la identidad $\sin2\theta=2\sin\theta \cos\theta$ para obtener la forma simple $$\frac{1}{4}\sin^2{\pi \over 4}$$

Answer 2

Aquí hay una solución usando números complejos: Sea $\omega = \exp(i\pi/2n)$ . Entonces

\begin{align*} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \cos \left( \tfrac{2k-1}{2n}\pi \right) \right) &= \frac{1}{2^{n}} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + 2\Re(\omega^{2k-1})+ 1 \right) \\ &= \frac{1}{2^{n}} \prod_{k=1}^{n} (1 + \omega^{2k-1})(1 + \omega^{-(2k-1)}). \end{align*}

Pero fíjese que $\omega^{-(2n-1)}, \cdots, \omega^{2n-1}$ son $2n$ ceros distintos del polinomio $ z^{2n} + 1$ . En consecuencia, tenemos

\begin{align*} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \cos \left( \tfrac{2k-1}{2n}\pi \right) \right) &= \frac{1}{2^{n}} \prod_{k=1}^{n} (-1 - \omega^{2k-1})(-1 - \omega^{-(2k-1)}) \\ &= \frac{1}{2^{n}} (z^{2n}+1)|_{z=-1} \\ &= \frac{1}{2^{n-1}}. \end{align*}

Answer 3

Una pista: $1+\cos \theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$ y el uso:

$\cos \frac{\theta}{2} = \dfrac{\sin \theta}{2\sin \frac{\theta}{2}}$ , o

intenta crear una ecuación cuártica y utiliza la fórmula de Viete para el producto de los ceros.

Answer 4

Utiliza las fórmulas de linealización. La expresión se puede reescribir como $$2^2\Bigl(2\sin\frac{\pi}{16}\,\sin\frac{7\pi}{16}\Bigr)\Bigl(2\sin\frac{3\pi}{16}\,\sin\frac{5\pi}{16}\Bigr)=2^2\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2.$$

Answer 5

Si $\cos4x=0,4x=(2n+1)\dfrac\pi2$ donde $n$ es un número entero cualquiera

$x=(2n+1)\dfrac\pi8$ donde $n\equiv0,1,2,3\pmod4$

Ahora $\cos4x=2\cos^22x-1=\cdots=8\cos^4x-8\cos^2x+1$

Por lo tanto, las raíces de $8c^4-8c^2+1=0$ son $\cos(2n+1)\dfrac\pi8$ donde $n\equiv0,1,2,3\pmod4$

Así, la ecuación cuyas raíces son $1+\cos(2n+1)\dfrac\pi8=y\iff\cos(2n+1)\dfrac\pi8=y-1$ es

$8(y-1)^4-8(y-1)^2+1=0\iff8y^4+\cdots+1=0$

Usando la fórmula de Vieta, $$\prod_{n=0}^3\left[1+\cos(2n+1)\dfrac\pi8\right]=\dfrac18$$