¿Es esta obra de Escher una teselación del modelo de medio plano del espacio hiperbólico?

Question

Uno de los grabados de Escher se parece a este . Uno similar es este .

Estos se parecen sospechosamente a Modelos de medio plano de Poincaré del plano hiperbólico (hay obras de arte de Escher basadas específicamente en el plano hiperbólico).

Tenga en cuenta que estas piezas no contienen todo el medio plano, por supuesto. Pero no es demasiado difícil imaginar la extensión de la obra de arte hacia la izquierda, hacia arriba y hacia la derecha en todo el semiplano. La segunda pieza también tendría que extenderse hacia abajo, pero como los lagartos se encogen exponencialmente, parece que convergerían en una línea.

Mi pregunta es: interpretados como modelos de medio plano, ¿corresponderían a teselaciones del plano hiperbólico? (También sería interesante verlos convertidos en otros modelos de la hiperbólica, como el modelo de disco de Poincaré).

(Es interesante, porque si es así, esto presenta una manera mucho más fácil de replicar el trabajo de Escher. Dibujar en un modelo de medio plano parece ser mucho más sencillo que en un modelo de círculo. Así que los artistas podrían dibujar en el modelo de medio plano y luego utilizar un ordenador para convertirlo en el modelo de círculo).

EDIT: Por ejemplo, la figura 1 de este documento muestra una teselación por formas cuadradas del plano hiperbólico, mostrada en el modelo de medio plano. Se parece mucho a la segunda impresión.

Answer 1

Como has escrito, hay obras de Escher que se basan en el plano hiperbólico, pero éstas vinieron después de intentos anteriores que no tenían ninguna conexión con el plano hiperbólico y mostraban que estaba buscando algún tipo de efecto estético que quería producir. Para el primer grabado, véase este enlace sobre redimensionamiento de teselas . La segunda huella parece más bien una teselación hiperbólica, pero tendría que estudiarla para asegurarme. Un problema es que los modelos de planos hiperbólicos suelen ser conformes, pero no todas las teselaciones están diseñadas así. Otro problema es la distorsión del área que es diferente entre los modelos.

Answer 2

Esto es más bien un comentario

Sí, las obras mostradas están relacionadas con el modelo de medio plano de Poincaré de la geometría hiperbólica. Hay obras similares de Escher que se muestran en el modelo de disco de Poincaré. Aquí hay una:

Tampoco sé si esto es una teselación o no. Lo parece.

Mi comentario en la pregunta es esta: No entiendo muy bien por qué los modelos de Poincaré son tan populares. Se pueden crear obras de arte similares basadas en otros modelos de otra geometría. Fíjate en la siguiente obra de arte insignificante, una teselación del plano euclidiano (con cuadrados) con algún decorado (círculos).

El dibujo anterior resulta más interesante si se representa en un modelo de la geometría euclidiana: en este caso el plano euclidiano se genera dentro del modelo de Klein del plano hiperbólico.