Evalúe $g^{(51)}(0)$ de $g(x)=\int_{1}^{x^2}\left(\cos(t)-1\right)^6t^8\,dt$

Question

Considere $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por:

$$g(x)=\int_{1}^{x^2}\left(\cos(t)-1\right)^6t^8\,dt$$

Demuestra que $g\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ y luego evaluar $g^{(51)}(0)$

Desde $f(t)=\left(\cos(t)-1\right)^6t^8 \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ básicamente por $\cos(t)$ y puesto que $g(x)$ es Riemann-integrable en cada $[1, x^2] \in \mathbb{R}$ tenemos que $g'(x) = (f(x^2))f'(x^2)$ es $C^{\infty}(\mathbb{R})$ a su vez.

Además $g^{(51)}(0)=0$ porque tenemos que $\frac{g^{(51)}(0)}{51!}=k\,\,$ s.t. $\,\,k\in \mathbb{R}$ y $k$ es el coeficiente del $51^{th}$ término de grado de la serie de Taylor de $g(x)$ centrado en $0$ que es $0$ (como todos los términos del grado impar).

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Aquí se muestra a qué órdenes de derivada habrá valores distintos de cero $ g^{(n)}(x=0) $ .

Sea $f(t)=\left(\cos(t)-1\right)^6t^8 $ y $F(t)$ su antiderivada. Entonces $g(x) = F(x^2) - F(1)$ , $g'(x) = 2 x F'(x^2) = 2 x f(x^2)$ . Yendo más allá, $$g''(x) = 2 f(x^2) + (2 x)^2 f'(x^2)\\ g'''(x) = 12 x f'(x^2)+ (2 x)^3 f''(x^2)\\ g^{(4)}(x) = 12 f'(x^2) + 24 x^2 (f'(x^2) +f''(x^2)) + (2 x)^4 f^{(3)}(x^2)\; .\\ $$ Es decir, los únicos términos que podrían contribuir a $g^{(n)}(x=0) $ son las derivadas principales de $f(t)$ . Veámoslos.

Aviso $f(x^2=0) = 0$ , $f'(x^2=0) = 0$ etc. Tenemos que buscar derivados de $f$ que no son cero en $x=0$ . Sea $f(t)=a(t) \cdot b(t) = \left(\cos(t)-1\right)^6 \cdot t^8 $ . A continuación, mediante la aplicación repetida de la regla del producto, $$ f^{(n)}(t)= \sum_{k=0}^n {\binom{n}{k}} a^{(n-k)}(t)b^{(k)}(t) $$ En $b(t) = t^8$ el único valor no nulo de $b^{(k)}(0)$ aparece en $k =8$ donde $b^{(k)}(0) = 8!$ . Tenemos $a(t) = \left(\cos(t)-1\right)^6 = 2^6 \sin^{12}(t/2)$ . Esto significa que tenemos que tomar al menos la duodécima derivada de $a(t)$ antes de llegar $a(0) \ne 0$ . Así que para $n \ge 20$ tenemos $$ f^{(n)}(t)= 8! {\binom{n}{8}} a^{(n-8)}(t) $$ La m-ésima derivada $a^{(m)}(t=0)$ se determinará, mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena, sólo por el término proporcional a $\cos^{12}(t/2)$ ya que todos los demás términos tienen factores $\sin^k(t/2)$ que los hacen cero como $t =0$ . Dado que necesitamos generar este término mediante la diferenciación repetida de $a(t) = 2^6 \sin^{12}(t/2)$ tenemos que todos $a^{(m)}(t=0)$ para impar $m$ desde entonces ningún término aislado $\cos^{12}(t/2)$ se producirá. Como $m = n-8$ podemos afirmar que para impar $n$ , $ f^{(n)}(t=0)= 0 $ .

Volvamos ahora a las derivadas de $g$ que empezamos a evaluar en la parte superior. Está claro que para todos los impar $n$ , $ g^{(n)}(x=0) = 0 $ ya que todos los términos tendrán factores de $x$ . Para el $n$ , $ g^{(n)}(x) $ tendrá un término principal con $ f^{(-1+n/2)}(x^2) $ . Como hemos visto que estos factores se harán distintos de cero sólo en la derivada 20, 22, 24, etc., obtenemos finalmente que $ g^{(n)}(x=0) \ne 0 $ se obtendrá para todos los $n = 42 + 4\, k$ con $k \in \cal{N}_0$ .

Para obtener el valor de $ g^{(n)}(x=0)$ veamos el primer caso distinto de cero en $n=42$ . A partir de la discusión de las primeras derivadas de $g(x)$ anterior, tenemos que $ g^{(42)}(x=0) $ está determinada únicamente por $ g^{(42)}(x=0) = c_{42} \cdot f^{(20)}(t=0) $ . Ahora $ f^{(20)}(t=0) = 8! {\binom{20}{8}} a^{(12)}(t=0) = 8! {\binom{20}{8}} 2^{-6} \cdot 12! $ .

El factor $ c_{42}$ es más difícil. Tenemos que sumar el número de todas las formas de llegar desde $g'(x) = 2 x f(x^2)$ en $g^{(42)}(x) = c_{42} \cdot f^{(20)}(x^2) + \cdots$ . El siguiente experimento mental ayuda a determinar el factor. Establezca $f(z) = z^{20}$ . Entonces $f^{(20)}(z) = 20! $ y $f^{(n)}(z) = 0 $ para $n \ge 21$ . Así que tenemos $g^{(42)}(x=0) = c_{42} \cdot f^{(20)}(z = x^2=0) + \cdots = 20! c_{42} $ . Por otra parte, con esta configuración tenemos $g'(x) = 2 x^{41}$ y por lo tanto $g^{(42)}(x) = 2 \cdot 41!$ . Por lo tanto $c_{42} = 2 \frac{41!}{20!}$ .

Compáralo con el mismo método, $c_{2} = 2 \frac{1!}{0!} = 2$ y $c_{4} = 2 \frac{3!}{1!} = 12$ como ya hemos establecido.

En total, tenemos $ g^{(42)}(x=0) = 2 \frac{41!}{20!} 8! {\binom{20}{8}} 2^{-6} \cdot 12! = 2^{-5} 41! \simeq 1.0454\cdot 10^{48} $ .

He comprobado que este resultado es cierto mediante el cálculo directo de $ g^{(42)}(x=0) $ con ayuda de Matlab.