Resolviendo la ecuación compleja$\sin(z) = \cos(z)$

Question

Para encontrar los números complejos que satisfacen el$\sin(z) = \cos(z)$, puedo decir:$$\sin(z) = \frac{(e^{iz}-e^{-iz})}{2i}=\frac{(e^{iz}+e^{-iz})}{2}$ $

y resolver para z? Entonces reducimos esto a$$-e^{-iz} = e^{-iz}$ $ pero esto no se ve bien

Answer 1

$$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ $ Luego,$$\sin(z)=\cos(z)\implies \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ Now let $ e ^ {iz} = t$ ,then $ e ^ {- iz} = 1 / t$ and you will get a quadratic equation,solve for it and back substitute it to get $ z $.

La ecuación se convierte en$t^2=\frac{1+i}{1-i}=i=e^{i(\pi/2+2k\pi)}\implies t=e^{i(\pi/4+k\pi)},e^{i(5\pi/4+k\pi)}$. Al igualarlo con$e^{iz}$ obtenemos$z=\pi/4+k\pi$

Answer 2

El uso de la suma de ángulos de las identidades y las relaciones entre trigonométricas y funciones trigonométricas hiperbólicas.

$$\begin{align} &&\sin(z)&=\cos(z)\\ \implies&&\sin(a+bi)&=\cos(a+bi)\\ \implies&&\sin(a)\cos(bi)+\cos(a)\sin(bi)&=\cos(a)\cos(bi)-\sin(a)\sin(bi)\\ \implies&&\sin(a)\cosh(b)+i\cos(a)\sinh(b)&=\cos(a)\cosh(b)-i\sin(a)\sinh(b)\\ \end{align}$$

Ahora igualando partes reales (y teniendo en cuenta que $a$ $b$ real), podemos ver que $\sin(a)=\cos(a)$. (Esto también uso el hecho de que $\cosh(b)$ no puede ser $0$.) Por lo $a=\frac{\pi}{4}+k\pi$ algunos $k\in\mathbb{Z}$.

Ahora podemos dividir todo por $\sin(a)$ o $\cos(a)$. (Recuerde, hemos deducido que son iguales).
$$\begin{align} \implies&&\cosh(b)+i\sinh(b)&=\cosh(b)-i\sinh(b)\\ \implies&&i\sinh(b)&=-i\sinh(b)\\ \implies&&\sinh(b)&=-\sinh(b)\\ \implies&&\sinh(b)&=0\\ \end{align}$$ Sólo hay una solución real para $b$: $b=0$.

Así que, en conclusión, $z=\frac{\pi}{4}+k\pi$ algunos $k\in\mathbb{Z}$.

Answer 3

La definición de$\sin(z)$ es$$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ $