¿Cambio de base?

Question

Entonces la pregunta es...

Una transformación $T$ se denota por $T(x,y)=(x+y,x-y)$.

$C$ es la base $\{(1,-1),(1,1)\}$

$D$ es la base $\{(1,2),(1,0)\}$

Sé que $T(C)=\{(0,2),(2,0)\}$

Pero ¿cómo puedo expresar eso en términos de $D$ y, lo que es más importante, cómo se vería la representación matricial de $[T]_C^D$?

También se agradecería algo de ayuda con el formato. ¡Gracias!

Answer 1

No haré el cálculo pero te daré algo mucho mejor: la receta de cómo encontrar lo que estás buscando:

Ten en cuenta que en la base estándar $(1,0), (0,1)$ la matriz de $T$ es $$ M = \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}$$

Esta es una transformación que lleva un vector representado en la base estándar a un vector representado en la base estándar.

Lo que deseas es una matriz que lleve un vector en la base $C$ a un vector en la base $D$. Por lo tanto, dado un vector en la base $C$ podrías transformarlo en un vector en la base estándar, aplicar $T$ y transformarlo en la base $D$.

Si $M_C$ denota la matriz que transforma de $C$ a la base estándar y $M_D$ de la base estándar a $D$, entonces la matriz que deseas será $M_DMM_C$.

Ahora solo queda calcular $M_C$ y $M_D. Pero eso es fácil: De $C$ a la base estándar será la matriz con las columnas $(1,-1), (1,1)$ (que son los vectores de la base $C$). Para la otra matriz, toma la transformación inversa de $D$ a la base estándar y calcula su inversa.