¿Es esta prueba de que$g$ es continuo correcto?

Question

He comprobado que$g$ es continuo en$(0,2)$ y solo quiero verificar si mi solución para$g$ es correcta continua en$0$ y por lo tanto continua en$0$ es correcto.

PS

Usar el hecho de que$$\lim\limits_{x \to 0^+}g(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(0)-f(2x)}{0-2x}= \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$ es diferenciable, por lo tanto,$f$

Cambié el$f'_+(0)=f'(0)$ por un$2x$ porque para los pequeños$x$ son básicamente lo mismo.

Answer 1

Su solución es correcta, en principio. Podría, sin embargo, con algunos adicionales justificación y/o explicación.

Por ejemplo, usted podría decir:

Desde $a(x) = 0$$b(x) = 2x$$0 \le x < 1$, se deduce que $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(0)-f(2x)}{0-2x}$$

Depende de cómo se defina $\lim$ si se puede mejorar en el salto intuitivo de intercambio de $2x$$x$. En general, se puede demostrar el siguiente teorema:

Deje $h: I \to \Bbb R$ ser una función continua, donde $I$ es un intervalo abierto, y deje $a \in I$. Deje $k$ ser una función tal que $\lim\limits_{x \to h(a)} k(x)$ existe. Entonces: $$\lim_{x\to a} k(h(x)) = \lim_{x \to h(a)} k(x)$$

donde en el presente caso, $h(x) = 2x$ $k(x) = \dfrac{f(0)-f(x)}{0-x}$ tiene un límite en $h(0) = 0$ por virtud de $f$ ser diferenciable.

Sin embargo, si no se me ha dado un matemáticamente precisa definición de los límites (como el $\epsilon$-$\delta$ la definición), luego resulta que este tipo de "obvio" teorema de siempre se siente un poco inestable, y probablemente esté bien justificar este paso en tu prueba de una manera informal.

Answer 2

Si bien tu trabajo es más o menos correcto, creo que probablemente podrías ser un poco más minucioso que decir que$x$ y$2x$ son "básicamente lo mismo". Dependiendo de qué tan riguroso quiera ser, le gustaría usar un método$\epsilon$ -$\delta$, pero también puede usar fácilmente la regla de la cadena. Define$F(x):=f(2x)$. Entonces$F$ es diferenciable y$F'(x)=2f'(2x)$. Luego tenemos$$\lim_{x\to0^+}\frac{f(0)-f(2x)}{0-2x}=\frac12\lim_{x\to0^+}\frac{F(x)-F(0)}x=\frac12F'(0)=f'(0).$ $ Puede hacer algo similar para el límite correcto. Define$G(x):=f(2x-2)$. Nuevamente,$G$ es diferenciable con$G'(x)=2f'(2x-2)$. Entonces$$\lim_{x\to2^-}\frac{f(2x-2)-f(2)}{(2x-2)-2}=\frac12\lim_{x\to2^-}\frac{F(x)-F(2)}{x-2}=\frac12F'(2)=f'(4-2)=f'(2).$ $

Answer 3

Me parece bien, pero tal vez en este nivel uno deba explicar por qué tomas$a(x)=0$ y$b(x)=2$ y por qué es$2x$ y$x$ básicamente lo mismo cuando trabajas con límites en torno a 0 .