Me encontré con este límite mientras integraba funciones de Bessel: $$\lim_{b\to\infty}b\int_0^1\cos(b x) \cosh^{-1}(\frac{1}{x})dx$$
Esta integral no tiene ningún valor estándar que yo conozca para los fijos $b$ . Graficándolo numéricamente, parece converger a $\pi/2$ como $b\to\infty$ (aunque lentamente).
¿Alguien tiene alguna idea para evaluar dicha integral/límite?
Por integración por partes $$ \int_{0}^{1}b\cos(bx)\cosh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\,dx = \left.\sin(bx)\log\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\right|_{0^+}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{\sin(bx)}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx$$ que es igual a $$ \int_{0}^{b}\frac{\sin(x)}{x\sqrt{1-\frac{x^2}{b^2}}}\,dx $$ y por el teorema de convergencia dominada, como $b\to +\infty$ la última integral se aproxima $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx = \color{red}{\frac{\pi}{2}} $$ como se esperaba.
¿Cómo se aplica aquí el teorema de la convergencia dominada? Requiere que la magnitud del integrando sea integrable, lo que no es el caso de $\frac{|\sin(x)|}{x}$ en $[0,\infty)$ . Por ejemplo, $\lim_\limits{s\to 0}\int_0^\infty e^{-s t} \cos(t)dt=1$ mientras que $\int_0^\infty \cos(t)dt$ no converge.
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