Sólo para completar la respuesta de Georges: dejemos S sea un divisor efectivo en X (es decir, una suma finita de puntos cerrados), la fórmula de Riemann-Roch (con dualidad de Serre) es h0(X(S))=h0(OX(S))+g−1−degS≥1+g−1−degS=g−degS. Así que la respuesta a su tercera pregunta es positiva cuando degS≤g−1 (esto incluye el caso S=P y g=2 ).
Las cosas se ponen más interesantes cuando degS=g . Los argumentos anteriores demuestran que h0(ΩX(−S))>0 si y sólo si h0(OX(S))≥2 . Se puede identificar el conjunto de divisores efectivos de grado g en X al producto simétrico X(g) (que es Xg cociente por el grupo simétrico en g elementos que actúan sobre Xg por permutación de las coordenadas). Fijar un punto x0∈X entonces tenemos un morfismo hacia el jacobiano de X f:X(g)→J(X),S↦[S−gx0]. Es bien sabido que f es birracional. Pero ¿cuál es el lugar excepcional de f ? Consiste en aquellos S tal que dimf−1(f(S))>0 . Como f−1(f(S))=|S| el sistema lineal de divisores efectivos linealmente equivalente a S y tiene dimensión (como variedad proyectiva) h0(OX(S))−1 vemos que
cuando degS=g , h0(ΩX(−S))>0 si y sólo si S pertenece al lugar excepcional de f .
Editar Respuesta a la pregunta 2. Sea t sea una función racional que sea un elemento uniformizador de X en P , dejemos que f=t2 . Entonces df=2tdt tiene un cero simple en P .
Nota: en el divisor de una sección racional (para responder a una pregunta planteada en los comentarios). Sea L sea una gavilla invertible en X , dejemos que s sea una sección racional no nula de L (es decir s∈L(U) para algún subconjunto abierto no vacío U de X y s≠0 ). Entonces el divisor divL(s) es un divisor de Cartier tal que OX(divL(s))≃L .
Esto se puede comprobar escribiendo L en una cubierta abierta {Xi}i de X como L|Xi=eiOXi . Así que s=eifi para algunos fi∈K(X) . El divisor Cartier divL(s) está representado por {(Xi,1/fi)}i y tenemos sOX(divL(s))=L .
En el caso particular de que L=ΩX para cualquier forma diferencial racional s tenemos divL(s)≃KX para cualquier divisor canónico KX en X .