Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

4 votos

ceros de formas en superficies de Riemann

Dejemos que P sea un punto de una superficie de Riemann.

¿Existe una forma diferencial no trivial ω en X tal que ω se desvanece en P ?

¿Existe una función racional no constante f en X tal que la forma diferencial (racional) df se desvanece en P ?

¿Y si sustituimos el conjunto {P} por un conjunto finito de puntos?

6voto

Nir Puntos 136

Sobre su primera pregunta:

Para g=genus(X)3 sí existen formas diferenciales no nulas que desaparecen en un punto dado arbitrariamente PX : esto resulta de Riemann-Roch aplicado a ΩX(P) .
De hecho, escribir hi=dimCHi tenemos
h0(ΩX(P))=h1(ΩX(P))+1g+degΩX(P)=h1(ΩX(P))+1g+2g30+1g+2g3=g2 para que h0(X,ΩX(P))>0 para g3 y por tanto existe una forma diferencial no nula ωH0(X,ΩX(P)) desapareciendo en P .

Para g=0 no existe tal forma porque sólo existe la forma cero en X .
Para g=1 una forma diferencial no nula no desaparece, por lo que tu pregunta tiene una respuesta negativa .
Para g=2 No sé qué pasa.

4voto

Sólo para completar la respuesta de Georges: dejemos S sea un divisor efectivo en X (es decir, una suma finita de puntos cerrados), la fórmula de Riemann-Roch (con dualidad de Serre) es h0(X(S))=h0(OX(S))+g1degS1+g1degS=gdegS. Así que la respuesta a su tercera pregunta es positiva cuando degSg1 (esto incluye el caso S=P y g=2 ).

Las cosas se ponen más interesantes cuando degS=g . Los argumentos anteriores demuestran que h0(ΩX(S))>0 si y sólo si h0(OX(S))2 . Se puede identificar el conjunto de divisores efectivos de grado g en X al producto simétrico X(g) (que es Xg cociente por el grupo simétrico en g elementos que actúan sobre Xg por permutación de las coordenadas). Fijar un punto x0X entonces tenemos un morfismo hacia el jacobiano de X f:X(g)J(X),S[Sgx0]. Es bien sabido que f es birracional. Pero ¿cuál es el lugar excepcional de f ? Consiste en aquellos S tal que dimf1(f(S))>0 . Como f1(f(S))=|S| el sistema lineal de divisores efectivos linealmente equivalente a S y tiene dimensión (como variedad proyectiva) h0(OX(S))1 vemos que

cuando degS=g , h0(ΩX(S))>0 si y sólo si S pertenece al lugar excepcional de f .

Editar Respuesta a la pregunta 2. Sea t sea una función racional que sea un elemento uniformizador de X en P , dejemos que f=t2 . Entonces df=2tdt tiene un cero simple en P .

Nota: en el divisor de una sección racional (para responder a una pregunta planteada en los comentarios). Sea L sea una gavilla invertible en X , dejemos que s sea una sección racional no nula de L (es decir sL(U) para algún subconjunto abierto no vacío U de X y s0 ). Entonces el divisor divL(s) es un divisor de Cartier tal que OX(divL(s))L .

Esto se puede comprobar escribiendo L en una cubierta abierta {Xi}i de X como L|Xi=eiOXi . Así que s=eifi para algunos fiK(X) . El divisor Cartier divL(s) está representado por {(Xi,1/fi)}i y tenemos sOX(divL(s))=L .

En el caso particular de que L=ΩX para cualquier forma diferencial racional s tenemos divL(s)KX para cualquier divisor canónico KX en X .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X