ceros de formas en superficies de Riemann

Question

Dejemos que $P$ sea un punto de una superficie de Riemann.

¿Existe una forma diferencial no trivial $\omega$ en $X$ tal que $\omega$ se desvanece en $P$ ?

¿Existe una función racional no constante $f$ en $X$ tal que la forma diferencial (racional) $df$ se desvanece en $P$ ?

¿Y si sustituimos el conjunto $\{P\}$ por un conjunto finito de puntos?

Answer 1

Sobre su primera pregunta:

Para $g=\text {genus}(X)\geq 3$ sí existen formas diferenciales no nulas que desaparecen en un punto dado arbitrariamente $P\in X$ : esto resulta de Riemann-Roch aplicado a $\Omega_X(-P)$ .
De hecho, escribir $h^i=dim_\mathbb C H^i$ tenemos
$$h^0(\Omega_X(-P))=h^1(\Omega_X(-P))+1-g+\text {deg} \:\Omega_X(-P)=h^1(\Omega_X(-P))+1-g+2g-3 \\\geq 0+1-g+2g-3=g-2$$ para que $h ^0(X, \Omega_X(-P))\gt 0$ para $g\geq 3$ y por tanto existe una forma diferencial no nula $\omega\in H^0(X, \Omega_X(-P))$ desapareciendo en $P$ .

Para $g=0$ no existe tal forma porque sólo existe la forma cero en $X$ .
Para $g=1$ una forma diferencial no nula no desaparece, por lo que tu pregunta tiene una respuesta negativa .
Para $g=2$ No sé qué pasa.

Answer 2

Sólo para completar la respuesta de Georges: dejemos $S$ sea un divisor efectivo en $X$ (es decir, una suma finita de puntos cerrados), la fórmula de Riemann-Roch (con dualidad de Serre) es $$h^0(_X(S))=h^0(O_X(S))+g-1-deg S\ge 1+g-1-\deg S=g-\deg S.$$ Así que la respuesta a su tercera pregunta es positiva cuando $\deg S\le g-1$ (esto incluye el caso $S=P$ y $g=2$ ).

Las cosas se ponen más interesantes cuando $\deg S=g$ . Los argumentos anteriores demuestran que $h^0(\Omega_X(-S))> 0$ si y sólo si $h^0(O_X(S))\ge 2$ . Se puede identificar el conjunto de divisores efectivos de grado $g$ en $X$ al producto simétrico $X^{(g)}$ (que es $X^g$ cociente por el grupo simétrico en $g$ elementos que actúan sobre $X^g$ por permutación de las coordenadas). Fijar un punto $x_0\in X$ entonces tenemos un morfismo hacia el jacobiano de $X$ $$f: X^{(g)} \to J(X), \quad S \mapsto [S-gx_0].$$ Es bien sabido que $f$ es birracional. Pero ¿cuál es el lugar excepcional de $f$ ? Consiste en aquellos $S$ tal que $\dim f^{-1}(f(S))>0$ . Como $f^{-1}(f(S))=|S|$ el sistema lineal de divisores efectivos linealmente equivalente a $S$ y tiene dimensión (como variedad proyectiva) $h^0(O_X(S))-1$ vemos que

cuando $\deg S=g$ , $h^0(\Omega_X(-S))> 0$ si y sólo si $S$ pertenece al lugar excepcional de $f$ .

Editar Respuesta a la pregunta 2. Sea $t$ sea una función racional que sea un elemento uniformizador de $X$ en $P$ , dejemos que $f=t^2$ . Entonces $df=2tdt$ tiene un cero simple en $P$ .

Nota: en el divisor de una sección racional (para responder a una pregunta planteada en los comentarios). Sea $L$ sea una gavilla invertible en $X$ , dejemos que $s$ sea una sección racional no nula de $L$ (es decir $s\in L(U)$ para algún subconjunto abierto no vacío $U$ de $X$ y $s\ne 0$ ). Entonces el divisor $\mathrm{div}_L(s)$ es un divisor de Cartier tal que $O_X(\mathrm{div}_L(s))\simeq L$ .

Esto se puede comprobar escribiendo $L$ en una cubierta abierta $\{ X_i\}_i$ de $X$ como $L|_{X_i}=e_i O_{X_i}$ . Así que $s=e_if_i$ para algunos $f_i\in K(X)$ . El divisor Cartier $\mathrm{div}_L(s)$ está representado por $\{ (X_i, 1/f_i)\}_i$ y tenemos $sO_X(\mathrm{div}_L(s))=L$ .

En el caso particular de que $L=\Omega_X$ para cualquier forma diferencial racional $s$ tenemos $\mathrm{div}_L(s)\simeq K_X$ para cualquier divisor canónico $K_X$ en $X$ .