Si $K$ es una extensión del campo de $\mathbb{Q}$ tal que $[K:\mathbb{Q}]=2$, demuestran que, a $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ por alguna plaza libre entero $d$

Question

Creo que tengo la parte posterior de esta prueba funcionó bastante bien, pero lo que realmente está haciendo campaña en mí es cómo ir desde el conocimiento de $[K:\mathbb{Q}]=2$ a sabiendas de que $K = \mathbb{Q}[x]/a_2x^2 + a_1x + a_0$.

Me refiero a todo lo que sé de $[K:\mathbb{Q}]=2$ es que cada elemento de a $K$ puede ser escrita en la forma$bk_1 + ck_2$$b,c\in \mathbb{Q}$. Como lo que puedo decir que yo aún no tiene ningún teoremas a mi disposición que decir si $[K:\mathbb{Q}]$ es finito que $K$ debe ser algebraicas sobre $\mathbb{Q}$, ni nada de eso. ¿Cómo puedo ir de esta premisa acerca de la $K$ 2-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ a saber algo acerca de los elementos de $K$ como raíces de polinomios en $\mathbb{Q}[x]$? Gracias.

Answer 1

Deje $\alpha \in K - \mathbb{Q}$. Desde $1 , α, α^2$ son linealmente dependientes sobre $\mathbb{Q}$, $aα^2 + bα + c = 0$, donde $a, b, c \in \mathbb{Q}$ y no todos los de $a, b, c$ son cero. Mediante la multiplicación de un adecuado número entero distinto de cero, podemos suponer $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Si $a = 0$, obtenemos $bα + c = 0$. Desde $b$ o $c$ no es cero, esto no puede suceder. Por lo tanto $a \neq 0$. Por lo tanto $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}((b^2 - 4ac)^{1/2})$. Desde el 1$ , α$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$, [$\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}$] = 2. Por lo tanto $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ y hemos terminado.