Sugerencia para calcular la siguiente integral

Question

Alguien puede dar una pista sobre cómo resolver la siguiente integral?

$$ \int_{0}^{2N\pi} \frac{-I\left(\xi t - r\right)\cos\left(t\right) + \xi R\sin\left(t\right)} {\left[R^{2} + \left(\xi t - r\right)^{2}\right]^{3/2}}\,{\rm d}t $$

He probado algunas sustituciones. Primero he dividido la integral en la suma de dos integrales:

$$\int_0^{2N\pi}\frac{(-R\cos t)(\xi t-r)}{(R^2+(\xi t-r)^2)^{3/2}}dt+\int_0^{2N\pi}\frac{\xi R\sin t}{(R^2+(\xi t-r)^2)^{3/2}}dt$$

Luego de la primera, he sustituido $u=\xi t - r$ y después de que he utilizado $u=R\tan \theta$ para obtener una mejor expresión en el denominador. El problema es que al final, solo tengo otra complicado integral para resolver.

Es allí una manera más inteligente de resolver esta integral? Yo sólo quiero una sugerencia, no la solución completa.

Muchas gracias de antemano.

EDIT: En el momento en que le he pedido a este yo no sabía contorno de integración en el plano complejo. Ahora estoy aprendiendo y que he tratado de resolver este uso, sin embargo no he encontrado una manera. De hecho, me he dado cuenta de que si $z\in S(R;0)$ $-R\cos t = (z+z^{-1})/2$ y en el mismo tiempo $R\sin t = (z-z^{-1})/2i$, pero todavía son aquellos términos que no implican $\xi t - r$ y esto sería $\xi \arg(z)- r$, por lo que tendría las funciones de:

$$f(z)=\dfrac{i}{2R}\dfrac{(z+z^{-1})(\xi \arg(z)-r)}{(R^2+(\xi \arg(z)-r)^2)^{3/2}}e^{-i\arg z}\qquad g(z)=-\dfrac{1}{2R}\dfrac{(z-z^{-1})e^{-i\arg z}}{(R^2+(\xi\arg(z)-r)^2)^{3/2}}$$

Por lo que veo, si $z\in S(R;0)$ y podemos parametrizar para que no se $N$ se convierte entonces $z=Re^{i t}$, por lo que

$$\int_{S(R;0)} f(z)dz=\int_0^{2N\pi}\dfrac{i}{R}\dfrac{(R\cos t)(\xi t-r)}{(R^2+(\xi t-r)^2)^{3/2}}e^{-it} iR e^{it}dt$$

y esta es justamente una de las integrales que necesito. Ahora no puedo ver cómo encontrar los polos y los residuos de $f$. ¿Cómo debo proceder?

Muchas gracias de nuevo.

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align}&\color{#c00000}{\int_{0}^{2N\pi} {-R\pars{\xi t - r}\cos\pars{t} + \xi R\sin\pars{t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t} =R\ \Re\int_{0}^{2N\pi} {-\pars{\xi t - r}\expo{\ic t} - \ic\xi\expo{\ic t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t \\[3mm]&=R\ \Re\int_{0}^{2N\pi} {\pars{r -\ic\xi}\expo{\ic t} - \xi t\expo{\ic t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t \\[3mm]&=R\ \Re\bracks{\pars{R - \ic\xi}\int_{0}^{2N\pi}{\expo{\ic t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t -\xi\int_{0}^{2N\pi}{t\expo{\ic t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t} \end{align}

Ahora, definir $$ {\cal F}\pars{\mu} \equiv \int_{0}^{2N\pi}{\expo{\ic\mu t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t $$

tal que \begin{align}&\color{#c00000}{\int_{0}^{2N\pi} {-R\pars{\xi t - r}\cos\pars{t} + \xi R\sin\pars{t}\over \bracks{R^{2} + \pars{\xi t - r}^{2}}^{3/2}}\,\dd t} =R\ \Re\bracks{\vphantom{\LARGE A} \pars{R - \ic\xi}{\cal F}\pars{1} + \ic\xi\,{\cal F}'\pars{1}} \end{align}

También \begin{align} {\cal F}\pars{\mu}& =\int_{-r/\xi}^{2N\pi - r/\xi}{\expo{\ic\mu\pars{t + r/\xi}}\over \bracks{R^{2} + \xi^{2}t^{2}}^{3/2}}\,\dd t ={1 \over \verts{R}^{3}}\,\expo{\ic\mu r/\xi}\int_{-r/\xi}^{2N\pi - r/\xi}{\expo{\ic\mu t}\over \bracks{1 + \pars{\xi^{2}/R^{2}}t^{2}}^{3/2}}\,\dd t \end{align}

Con $\ds{x \equiv {\verts{\xi} \over \verts{R}}\,t\quad\imp\quad t = {\verts{R} \over \verts{\xi}}\,x}$: \begin{align} {\cal F}\pars{\mu}& ={1 \over \verts{\xi}\verts{R}^{2}}\,\expo{\ic\mu r/\xi}\int_{x_{-}}^{x_{+}}{\expo{\ic\pars{\mu\verts{R}/\verts{\xi}}x}\over \pars{1 + x^{2}}^{3/2}}\,\dd x\,,\qquad \left\lbrace\begin{array}{rcl} x_{-} & \equiv & -\,{r \over \verts{R}}\,\sgn\pars{\xi} \\[3mm] x_{+} & \equiv & \pars{2N\pi - {r \over \xi}}\,{\verts{\xi} \over \verts{R}} \end{array}\right. \end{align}

$\ds{\tt\mbox{Can you take it from here ?.}}$