Pregunta acerca de una solución a un problema de Taylor teorema y mínimo local

Question

He estado estudiando "Berkeley Problemas en Matemáticas, Souza Silva" y me encontré con este problema:

Deje $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $C^{\infty}$ función. Suponga que $f(x)$ tiene un mínimo local en a $x = 0$. Demostrar que hay un disco centrado en el $y$ eje que se encuentra por encima de la gráfica de $f$ y toca el gráfico de la $(0, f(0))$.

Hacemos uso del teorema de Taylor:

hay una constante $C$ tal que $|f(x) - f(0) - f'(0)x| \le Cx^2$ y suponemos que $|x| < 1$.

¿Por qué es eso?

Sé que si una función tiene un mínimo local en a $0$, esto significa que en un determinado barrio de sus valores no pueden ser menos de $f(0)$.

Le ocurra nada malo si tenemos en lugar de asumir que $|x|<\delta<1$ ?

Por favor me ayude. Veo que es un paso crucial en la solución de este problema.

http://thor.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2012-2013/Concursuri/SEEMOUS-2013/Baza%20de%20documentare/Souza,%20Silva%20-%20Berkeley%20Problems%20In%20Mathematics%20(440S).pdf

pregunta: Problema 1.4.26 página 24 de solución: página 177

Answer 1

Supongamos que $|f''(x)|\le M$$|x|\le\epsilon$. Desde $f'(0)=0$, tenemos que para $|x|\lt\epsilon$, $$ \left|\frac{f'(x)-f'(0)}{x 0}\right|=|f"(\xi)|\le M $$ para algunos $\xi$$0$$x$; es decir, para $|\xi|\le\epsilon$.

Por lo tanto, $|f'(x)|\le M|x|$ y la integración de los rendimientos $|f(x)-f(0)|\le\frac M2x^2$$|x|\le\epsilon$.

La parte inferior de la circunferencia de radio $r$ centrada en $f(0)+r$ es $$ g(x)=f(0)+r-\sqrt{r^2-x^2} $$ de modo que $g(0)=f(0)$ y $$ \begin{align} g(x)-f(0) &=\frac{x^2}{r+\sqrt{r^2-x^2}}\\ &\ge\frac1{2r}x^2 \end{align} $$ Por lo tanto, si partimos $r\le\min\left(\frac1M,\epsilon\right)$, el círculo de radio $r$ centrada en $f(0)+r$ satisface los requisitos. Es decir, $$ g(x)\ge f(0)+\frac1{2r}x^2\ge f(0)+\frac M2x^2\ge f(x)\\ g(0)=f(0) $$ y el círculo sólo se extiende a $|x|\le r\le\epsilon$.