Supongamos que tengo la presentación del grupo $G=\langle x,y\ |\ x^3=y^5=(yx)^2\rangle$ . Ahora, $G$ es isomorfo a $SL(2,5)$ (ver mi prueba aquí ). Esto significa que la relación $x^6=1$ debe mantener en $G$ . Me preguntaba si alguien sabe cómo derivar eso simplemente de la presentación del grupo (sin usar extensiones centrales, etc.). Aún más agradable sería un ejemplo de cómo el software (GAP, Magma, Magnus, etc.) podría automatizar eso.
Respuestas
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La teoría (y la práctica) de los grupos automáticos es la forma sistemática más útil de tratar estas cosas. Hay un buen paquete escrito por Derek Holt y sus asociados llamado kbmag (disponible para descargar aquí: http://www.warwick.ac.uk/~mareg/download/kbmag2/ ). Hay un libro "Word Processing in Groups" de Epstein, Cannon, Levy, Holt, Paterson y Thurston que describe las ideas que sustentan este enfoque. No está garantizado que funcione (no todos los grupos tienen una presentación "automática") pero es sorprendentemente eficaz.
Hice un pequeño archivo de entrada para kbmag, e inmediatamente me devolvió un sistema "confluente" de relaciones (un sistema particular que tiene la propiedad técnica de que cuando haces una serie de sustituciones de cadenas siempre obtienes la misma respuesta sin importar el orden en que las hagas). Para que lo entiendas, aquí están (xi e yi son x^-1 e yi^-1 respectivamente, idWord es 1 [editado para mostrar las derivaciones de kbmag):
#Initial equation number 1:
#x*xi -> IdWord
#Initial equation number 2:
#xi*x -> IdWord
#Initial equation number 3:
#y*yi -> IdWord
#Initial equation number 4:
#yi*y -> IdWord
#Initial equation number 5:
#y^4 -> x^3*yi
#Initial equation number 6:
#y*x*y -> x^2
#New equation number 7, from overlap 5, 3:
#x^3*yi^2->y^3
#New equation number 8, from overlap 4, 5:
#yi*x^3->y^4
#New equation number 9, from overlap 6, 3:
#x^2*yi->y*x
#New equation number 10, from overlap 4, 6:
#yi*x^2->x*y
#New equation number 11, from overlap 2, 7:
#xi*y^3->y*x*yi
#New equation number 12, from overlap 2, 9:
#xi*y*x->x*yi
#New equation number 13, from overlap 10, 1:
#x*y*xi->yi*x
#New equation number 14, from overlap 1, 11:
#x*y*x*yi->y^3
#New equation number 15, from overlap 11, 3:
#y*x*yi^2->xi*y^2
#New equation number 16, from overlap 12, 1:
#x*yi*xi->xi*y
#New equation number 17, from overlap 2, 13:
#xi*yi*x->y*xi
#New equation number 18, from overlap 4, 15:
#yi*xi*y^2->x*yi^2
#New equation number 19, from overlap 2, 16:
#xi^2*y->yi*xi
#New equation number 20, from overlap 17, 1:
#y*xi^2->xi*yi
#New equation number 21, from overlap 18, 3:
#x*yi^3->yi*xi*y
#New equation number 22, from overlap 19, 3:
#yi*xi*yi->xi^2
#New equation number 23, from overlap 2, 21:
#xi*yi*xi*y->yi^3
#New equation number 24, from overlap 23, 3:
#yi^4->xi*yi*xi
#New equation number 25, from overlap 3, 24:
#y*xi*yi*xi->yi^3
#New equation number 26, from overlap 25, 2:
#yi^3*x->y*xi*yi
#New equation number 27, from overlap 3, 26:
#y^2*xi*yi->yi^2*x
#New equation number 28, from overlap 27, 4:
#yi^2*x*y->y^2*xi
#New equation number 29, from overlap 3, 28:
#y^3*xi->yi*x*y
#New equation number 30, from overlap 29, 2:
#yi*x*y*x->y^3
#New equation number 31, from overlap 5, 5:
#y*x^3->x^3*y
#New equation number 32, from overlap 5, 6:
#y^3*x^2->x*y*x^2*y
#New equation number 33, from overlap 8, 7:
#yi*x*y^3->x*y^2*x*yi
#New equation number 34, from overlap 7, 8:
#y*x^2*y*x->x^2*y^3
#New equation number 35, from overlap 11, 6:
#y*x*yi*x*y->xi*y^2*x^2
#New equation number 36, from overlap 12, 9:
#xi*y^2*x->x*yi*x*yi
#New equation number 37, from overlap 10, 13:
#yi*x*yi*x->x*y^2*xi
#New equation number 38, from overlap 11, 15:
#y*x*yi*x*yi^2->xi*y^2*xi*y^2
#New equation number 39, from overlap 12, 16:
#xi*y*xi*y->x*yi^2*xi
#New equation number 40, from overlap 17, 13:
#y*xi*y*xi->xi*yi^2*x
#New equation number 41, from overlap 18, 15:
#yi*x*yi^2*xi*y->x*yi^2*x*yi^2
#New equation number 42, from overlap 18, 20:
#yi*xi*y*xi*yi->x*yi^2*xi^2
#New equation number 43, from overlap 19, 20:
#yi*xi^3->xi^3*yi
#New equation number 44, from overlap 17, 21:
#y*xi*yi^3->xi*yi^2*xi*y
#New equation number 45, from overlap 23, 20:
#yi^3*xi^2->xi*yi*xi^2*yi
#New equation number 46, from overlap 22, 24:
#yi*xi^2*yi*xi->xi^2*yi^3
#New equation number 47, from overlap 25, 19:
#yi^3*xi*y->y*xi*yi^2*xi
#New equation number 48, from overlap 22, 26:
#xi^2*yi^2*x->x*yi^2*xi^2
#New equation number 49, from overlap 27, 26:
#yi^2*x*yi^2*x->y*xi*yi^2*x*yi
#New equation number 50, from overlap 49, 1:
#y*xi*yi^2*xi*y->yi^2*x*yi^2
#New equation number 51, from overlap 7, 28:
#x^3*y^2*xi->y^2*x^2
#New equation number 52, from overlap 27, 28:
#yi*x*y^2*xi*y->y^2*xi*y^2*xi
#New equation number 53, from overlap 29, 12:
#yi*x*y^2*x->y^3*x*yi
#New equation number 54, from overlap 31, 7:
#x^3*y^2*x*yi->y*x^2*y^3
#New equation number 55, from overlap 32, 13:
#x*y*x^2*y^2*xi->y^3*x*yi*x
#New equation number 56, from overlap 32, 14:
#x*y*x^2*y^2*x*yi->y^2*x^2*y^2
#New equation number 57, from overlap 2, 56:
#y*x^2*y^2*x*yi->x^2*y^2*xi*y^2
#New equation number 58, from overlap 56, 4:
#y^2*x^2*y^3->x*y*x^2*y^2*x
#New equation number 59, from overlap 57, 4:
#x^2*y^3*x*yi->y*x^2*y^2*x
#New equation number 60, from overlap 33, 34:
#y^2*x^2*y^2*xi*y^2->x*y^2*x^2*y^2*x
#New equation number 61, from overlap 11, 35:
#x^2*y^2*xi*y^2*xi->y*x^2*y^2*xi*y
#New equation number 62, from overlap 35, 25:
#x*yi*x*yi^2*xi->xi*y^2*xi*y
#New equation number 63, from overlap 35, 32:
#x^2*y^2*x^2*y^2*xi->y*x^2*y^2*x^2*y
#New equation number 64, from overlap 33, 35:
#y^2*x^2*y^2*xi*y->yi*x*yi^2*x*yi^2
#New equation number 65, from overlap 64, 3:
#y^2*x^2*y^2->yi^2*x*yi^2
#New equation number 66, from overlap 4, 64:
#y*x^2*y^2*xi*y->xi*yi^2*x*yi^2*xi
#New equation number 67, from overlap 65, 3:
#y*x^2*y->xi*yi^2*xi
#New equation number 68, from overlap 4, 66:
#xi*y*xi*yi^2*xi->x^2*y^2*xi*y
#New equation number 69, from overlap 67, 3:
#xi*yi*xi^2->y*x^2
#New equation number 70, from overlap 4, 67:
#xi^2*yi*xi->x^2*y
#New equation number 71, from overlap 68, 2:
#x^2*y^2*x->xi*y*xi*yi
#New equation number 72, from overlap 1, 69:
#x*y*x^2->yi*xi^2
#New equation number 73, from overlap 69, 2:
#x^3*y->xi*yi*xi
#New equation number 74, from overlap 70, 2:
#x^2*y*x->xi^2*yi
#New equation number 75, from overlap 71, 1:
#xi*yi^3->x^2*y^2
#New equation number 76, from overlap 2, 71:
#yi*xi^2*yi->x*y^2*x
#New equation number 77, from overlap 72, 1:
#xi^3*yi->x*y*x
#New equation number 78, from overlap 73, 3:
#xi^3->x^3
#New equation number 79, from overlap 75, 4:
#x^2*y^3->xi*yi^2
#New equation number 80, from overlap 1, 78:
#x^4->xi^2
#New equation number 81, from overlap 2, 79:
#xi^2*yi^2->x*y^3
#New equation number 82, from overlap 29, 36:
#y^3*x*yi*x*yi->x*y^2*x*yi*x
#New equation number 83, from overlap 7, 37:
#y^3*x*yi*x->yi^2*xi*y*xi
#New equation number 84, from overlap 4, 83:
#xi*yi^2*xi^2->y*x*yi*x
#New equation number 85, from overlap 1, 84:
#yi^2*xi^2->y^3*x
#New equation number 86, from overlap 9, 37:
#yi^3*xi->y^2*x^2
#New equation number 87, from overlap 38, 8:
#x^2*y^2*xi*y^2->xi*yi^2*x*yi^2
#New equation number 88, from overlap 11, 38:
#xi*y^2*xi*y^2*xi*y->y^2*x*yi*x*yi^2
#New equation number 89, from overlap 88, 3:
#xi*y^2*xi*y^2*xi->y*xi*y^2*xi*y
#New equation number 90, from overlap 38, 37:
#y*xi*yi^2*x*yi^2*xi->yi*x*yi^2*x*yi^2
#New equation number 91, from overlap 39, 39:
#x*y^2*x^2->yi*xi*y*xi
#New equation number 92, from overlap 41, 39:
#yi*x*yi^2*x*yi^2*xi->x*yi*x*yi^2*x*yi^2
#New equation number 93, from overlap 42, 47:
#xi*y*xi*yi^2*x*yi^2->x*y^2*xi*y^2*xi*y
#New equation number 94, from overlap 93, 4:
#x*y^2*xi*y^2*xi*y^2->xi*y*xi*yi^2*x*yi
#New equation number 95, from overlap 2, 94:
#y^2*xi*y^2*xi*y^2->x*y^2*x*yi*x*yi68 eqns; total len: lhs, rhs = 299, 246; 77 estados; 0 segs. max len: lhs, rhs = 8, 8.
El sistema es confluente.
Saliendo con 68 ecuaciones. #El estado de salida es 0
Macho Matt
Puntos
595
Bien, aquí está la derivación, basada completamente en la increíble información proporcionada por Victor Miller (a quien también debo agradecer que me haya dado a conocer kbmag). Primero, algunas identidades:
(1) De $x^3=xyxy$ obtenemos: (a) $x^2=yxy$ ; (b) $xyx^{-1}=y^{-1}x$ ; (c) $x^{-1}yx=xy^{-1}$ .
(2) De $y^5=xyxy$ nos encontramos con que: (a) $y^4=xyx$ ; (b) $x^{-1}y^3=yxy^{-1}$ ; (c) $y^3x^{-1}=y^{-1}xy$ .
(3) De (1a) y (3b) obtenemos $(yxy)(yxy^{-1})=(x^2)(x^{-1}y^3) = xy^3$ Así que $xy^2xy^{-1}=y^{-1}xy^3$ .
(4) De (2b) y (1b) obtenemos $(yxy^{-1})(xyx^{-1}) = (x^{-1}y^3)(y^{-1}x) = x^{-1}y^2x$ para que $yxy^{-1}xy=x^{-1}y^2x^2$ .
(5) De (2c) obtenemos $y^2x^{-1}y^{-1}=y^{-2}x$ ; elevando al cuadrado el resultado es $y(yx^{-1}yx^{-1})y^{-1}=y^{-2}xy^{-2}x$ . (1c), inverso, al cuadrado, muestra que esto es lo mismo que $yx^{-1}y^{-2}xy^{-1}=y^{-2}xy^{-2}x$ .
(6) Similar a (5). De (2c) obtenemos $y^2x^{-1}=y^{-2}xy$ ; elevando al cuadrado el resultado es $y^2x^{-1}y^2x^{-1}=y^{-1}(y^{-1}xy^{-1}x)y$ . (1b) al cuadrado muestra que esto es lo mismo que $y^2x^{-1}y^2x^{-1}=y^{-1}xy^2x^{-1}y$ .
Bien, ahora considera la palabra $(y^{-1}xy^3)xy^{-1}xy$ . A partir de (3) esto es $xy^2x(y^{-1}xy^{-1}x)y$ que de (1b) al cuadrado es $xy^2x(xy^2x^{-1})y=xy^2x^2y^2x^{-1}y$ .
Esta palabra también puede escribirse como $y^{-1}xy^2(yxy^{-1}xy)$ que a partir de (4) es $y^{-1}xy^2(x^{-1}y^2x^2)$ . Así que los dos cálculos anteriores muestran $y^2x^2y^2xy^{-1}=x^{-1}(y^{-1}xy^2x^{-1}y)yx^2$
$=x^{-1}y^2x^{-1}y^2(x^{-1}yx)x$ ...... de (6)
$=x^{-1}y^2(x^{-1}y^2x)y^{-1}x$ ....... de (1c)
$=(x^{-1}y^2x)y^{-1}xy^{-2}x$ ......... de (1c) al cuadrado
$=xy^{-1}x(y^{-2}xy^{-2}x)$ ........... de (1c) al cuadrado
$=xy^{-1}(xyx^{-1})y^{-2}xy^{-1}$ ..... de (5)
$=x(y^{-2}xy^{-2}x)y^{-1}$ .............from (1b)
$=(xyx^{-1})y^{-2}xy^{-2}$ ............ de (5)
$=y^{-1}xy^{-2}xy^{-2}$ ............... de (1b).
Así que $y^2x^2y^2x^{-1}y=y^{-1}xy^{-2}xy^{-2}$ o $y^2x^2y^2=y^{-1}xy^{-2}xy^{-3}x$ . Pero $y^{-1}xy^{-2}x(y^{-3}x)=y^{-1}xy^{-2}(xyx^{-1})y^{-1}=y^{-1}x(y^{-3}x)y^{-1}=y^{-1}(xyx^{-1})y^{-2}=y^{-2}xy^{-2}$ (mediante la aplicación repetida de (2b) inversa, y (1b)).
Así, $y^2x^2y^2=y^{-2}xy^{-2}$ o $y^4x^2y^4=x$ y de (2a) obtenemos $xyx^4yx=x$ o $1=yx^4yx=(yxy)x^4=x^6$ (la segunda se deduce de $x^3$ siendo la central y la tercera de (1a)).
¡Hecho!
john
Puntos
16
Es una respuesta un poco tardía, pero hay una buena prueba :).
Denote $t = x^3 = y^5$ Así que $t$ está en el centro de $G$ . Añadir un nuevo símbolo $u$ y afirmar que conmuta con otros símbolos y $u^{-30}=t$ por lo que obtenemos un nuevo grupo $E$ isomorfo a $Ext(C_{30},G)$ . Ahora denota $a = u^{10}x, b=u^{6}y, c=u^{15}yx$ . Es fácil comprobar que $a^3=b^5=c^2=1$ y $bac=u$ en $E$ . Denote $Q_1 = u^{-1}ba, Q_2 =u^{-1}ab$ . Puede comprobar que $Q_1^2 = Q_2^2 = 1$ . Los siguientes retenes:
$$Q_1Q_2 = u^{-2}b(a^2)b = u^{-2}b(u^{-2}bab)b = u^{-4}b^2ab^2 = u^{-4}b^2a(b^{-1})b^3 = $$ $$= u^{-4}b^2a(u^{-2}aba)b^3 = u^{-6}b^2a^2bab^3 = u^{-6}(b^2a^2)b(b^2a^2)^{-1}$$ Por lo tanto, $(Q_1Q_2)^5=u^{-30}=t$ . Pero $(Q_2Q_1)^5 = Q_1(Q_1Q_2)^5Q_1 = t$ así que $t^2=(Q_1Q_2)^5(Q_2Q_1)^5=1$ en $E$ . Claramente, $t^2=1$ debe mantener en $G$ también.
La idea de esta prueba es de este artículo: "Operadores escalares iguales al producto de raíces unitarias del operador identidad", Yu. S. Samoilenko, D. Yu. Yakymenko, Ukrainian Mathematical Journal, noviembre de 2012, volumen 64, número 6, pp 938-947.
jezell
Puntos
2430
Esta es una respuesta muy básica a la última parte de la pregunta. Se puede derivar la relación $x^6=1$ en la brecha y el magma e incluso identificar el grupo en este caso. Como advertencia, estos métodos pueden romperse dependiendo de la automatización que uno tenga en mente.
En la brecha:
gap> F:= FreeGroup(2); x:=F.1; y:=F.2;
<free group on the generators [ f1, f2 ]>
f1
f2
gap> G:= F/[x^3*y^-5,x^-3*(y*x)^2];
<fp group on the generators [ f1, f2 ]>
gap> Order(Subgroup(G,[G.1]));
6Para identificar a todo el grupo:
gap> Order(G); # note this line is not strictly necessary
120
gap> StructureDescription(G);
"SL(2,5)"En el magma, podemos hacer las mismas operaciones:
> G<x,y>:=Group<x,y|x^3=y^5=(y*x)^2>;
> Order(sub<G|x>);
6
> Order(G); # again this line is not strictly necessary
120
> IdentifyGroup(G);
<120, 5> A partir de aquí, se busca el grupo como el 5º grupo de orden 120 en la base de datos de grupos pequeños (ver http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/703 ). Como alternativa, puede poner su presentación favorita de $SL(2,5)$ y comprueba que también es el grupo "<120, 5>".
thedeeno
Puntos
12553
Pauli no publicó la idea parece que está en una correspondencia privada con Meitner, según la Wikipedia. Enrico Fermi dio nombre a la partícula y publicó la teoría de la interacción de cuatro fermiones de la desintegración beta en 1934, en este artículo:
E. Fermi "Intento de teoría de la $\beta$ -strahlen" I.Z. Physik 88,161 (1934)
Encontré un repaso rápido de la historia aquí:http://cdsweb.cern.ch/record/779702/files/CERN-ARCH-PBC-328-5.pdf (hay algunos bloopers de edición confusos en el diseño).
La detección del neutrino está bien documentada en Wikipedia, porque le valió al equipo que lo detectó el Nobel de 1995, y no tengo nada que añadir. La documentación sobre la historia anterior es más escasa.
La prehistoria de este asunto es la reticencia de Bohr a aceptar la conservación de la energía como algo fundamental. En los años 20 pensaba en la conservación de la energía como una ley estadística termodinámica, y estaba dispuesto a desecharla para que la teoría cuántica tuviera sentido. Una de las paradojas de la primera teoría cuántica es que se puede tener un cuanto de luz disperso, que pasa por muchos átomos. Entonces el fotón debe ser absorbido por uno y sólo un átomo, por conservación de la energía. Pero la localidad parece implicar que si un átomo de aquí puede absorber el fotón, y un átomo de allá puede absorber el fotón, entonces si no pueden señalar, ambos pueden absorber el mismo fotón. No estoy seguro de que Bohr lo hubiera dicho así en 1924, no creo que creyera todavía en los fotones. Habría hablado de un campo electromagnético clásico que se extiende sobre muchos átomos, y la respuesta va a la velocidad de la luz, pero la absorción es cuántica, por lo que la energía no se puede conservar.
En la mecánica cuántica moderna, esto no es cierto, porque se tiene una función de onda global que significa que los diferentes átomos absorben el fotón en diferentes ramas de Everett, o, si se prefiere, la absorción del fotón colapsa la función de onda no localmente para evitar la absorción en otro lugar. Pero en 1924, todo esto fue dos años en el futuro, y Kramers Bohr y Slater propusieron que la energía simplemente no se conserva, y que las transiciones atómicas se rigen por algo similar a un campo electromagnético semiclásico que interactúa con un átomo cuántico. Esta descripción sólo da la conservación de la energía en promedio, porque el mismo campo electromagnético puede volcar energía en átomos lejanos a la vez, y en la aproximación del campo electromagnético semiclásico, se ignora la estructura cuántica del campo, por lo que si el campo representa un solo fotón, ese solo fotón puede ser absorbido por diferentes átomos. Esto se interpreta ahora como que los fotones individuales no están bien descritos por un campo semiclásico, pero esa no era la interpretación de BKS.
La teoría cuántica de Heisenberg de 1925 puso fin a BKS y restauró la conservación de la energía. Esta fue una de las principales motivaciones de Heisenberg: supo que estaba en el camino correcto cuando se dio cuenta de que la interpretación de la energía como matriz hamiltoniana hace que la energía se conserve. Bohr estaba muy descontento con el destino de su teoría, que realmente fue el primer intento coherente de descripción de los fotones y los átomos, y merecía más reconocimiento. Fue atacada por Einstein, y murió incluso antes que la mecánica matricial. En el libro de Feynman de 1950 sobre electrodinámica cuántica, muestra hasta dónde se puede llevar la idea del campo semiclásico, que se puede reproducir toda la electrodinámica cuántica sólo a partir de campos semiclásicos que interactúan con las partículas, siempre y cuando al final se entienda que los cálculos semiclásicos son sólo guías para obtener las reglas de Feynman adecuadas para fotones individuales. Creo que este tipo de presentación desciende de BKS (aunque es mecánicamente correcta, por supuesto, y es ab-initio, como era la manera de Feynman).
La detección y confirmación de que los electrones en la desintegración beta nuclear pueden salir con una energía inferior a la máxima posible, por parte de Meitner y los colboradores, llevó a Bohr a revivir la antes desacreditada conservación estadística de la energía. Esta idea estaba ahora mucho menos motivada que antes, y Pauli decidió que sólo hay algo que se lleva la energía extra.
Pauli tenía una aversión a la publicación, por alguna razón, y tendía a escribir cosas en cartas. Es una lástima, porque sus trabajos publicados son muy buenos. No he podido encontrar la carta sobre los neutrinos en Internet, y además no leo alemán. El documento de Fermi es probablemente la mejor fuente para las primeras ideas, pero esta teoría es reemplazada por la teoría V-A en la década de 1950.
El artículo que enlacé sugiere que Pauli no quería publicar una teoría de cuatro Fermi porque sabía que esta teoría tendría terribles infinitos de teoría de perturbación. Sí que escribe que la teoría de Fermi conduce a terribles infinitos en un orden superior de perturbaciones, pero esta es una propiedad compartida por todas las teorías cuánticas de campo en un formalismo no covariante.
Ahora sabemos que las teorías de tipo Fermi son no normalizables en 4d, pero si atribuyes esta visión al Pauli de los años 30, creo que es un anacronismo. Incluso la electrodinámica cuántica es infinita en un bucle, después de todo, y el orden de la divergencia sólo fue establecido como logarítmico por Weisskopf en la década de 1940. En los años 30, la gente no estaba segura de cómo se disparaba, pero probablemente esperaban una ley de potencia, como la autoenergía en la electrodinámica clásica. La divergencia en la electrodinámica cuántica sólo se suaviza a un logaritmo debido a las contribuciones de los positrones, y es importante tener una formulación relativísticamente invariante para conocer el orden exacto de la divergencia, porque no se obtiene la respuesta correcta si se separan las contribuciones del positrón y del electrón.
