Polinomios mónicos recurrentes de grado 2

Question

Considera un polinomio mónico $x^2+ax+b=0$, con coeficientes reales. Si tiene raíces reales $p$ y $q$, tales que $p\leq q$, entonces construyes un nuevo polinomio mónico como $x^2+px+q=0$.

Si este polinomio tiene raíces reales $p_1$ y $q_1$, $p_1\leq q_1$ nuevamente construyes un polinomio mónico como $x^2+p_1x+q_1=0$. Continúas haciendo esto hasta que obtengas raíces complejas. Una vez que obtengas raíces complejas, te detienes y cuentas la cantidad de polinomios construidos hasta ahora.

Entonces mi pregunta aquí es si comienzas con un polinomio mónico arbitrario con coeficientes reales, ¿cuántos de estos polinomios se pueden crear, este proceso continuará para siempre o dará una cantidad finita de polinomios? ¿Cómo procederías para iniciar con la solución?

Answer 1

Si comienzas con el polinomio $a=b=0$, entonces el polinomio siempre será $x^2$ y así el proceso continuará para siempre. Sin embargo, en todos los demás casos, terminará en un número finito de pasos.

Primero, supongamos que $b=0$ y $a\neq 0$. Si $a<0$, el siguiente polinomio es $x^2-a$, el cual no tiene raíces reales. Si $a>0$, el siguiente polinomio es $x^2-ax$ y luego el siguiente polinomio es $x^2+a$, el cual tampoco tiene raíces reales.

Ahora, supongamos que $b\neq0$. Notemos que entonces el polinomio inicial no tiene al $0$ como raíz, y consecuentemente ninguno de los otros tampoco (ya que el coeficiente constante nunca es $0$). Supongamos que el proceso continúa para siempre y digamos que los polinomios son $x^2+ax+b$, $x^2+p_0x+q_0$, $x^2+p_1x+q_1$, $x^2+p_2x+q_2$, y así sucesivamente.

Notemos primero que los signos de los coeficientes $(p,q)$ siguen un ciclo $$(-,-)\to(-,+)\to (+,+)\to (-,-).$$ Por ejemplo, si $p_n$ y $q_n$ son ambos negativos, entonces las raíces de $x^2+p_nx+q_n$ tienen signos opuestos (ya que su producto $q_n$ es negativo), por lo que $p_{n+1}$ es negativo y $q_{n+1}$ es positivo.

Analizaremos ahora cómo cambia el valor absoluto del coeficiente lineal en este ciclo. Si $p_n$ y $q_n$ son negativos, entonces $p_{n+1}<0 y $p_{n+1}+q_{n+1}=-p_n>0$, por lo que $|p_{n+1}|<|q_{n+1}|$. Así $$|p_{n+1}|<\sqrt{|p_{n+1}q_{n+1}|}=\sqrt{|q_n|}\leq\sqrt{|p_n|}.$$ Ahora supongamos que $p_n$ es negativo y $q_n$ es positivo. Entonces $0 y así $$|p_{n+1}|=p_{n+1}\leq \frac{p_{n+1}+q_{n+1}}{2}=\frac{-p_n}{2}=\frac{|p_n|}{2}.$$ Finalmente, supongamos que $p_n$ y $q_n$ son positivos. Entonces $p_{n+1}\leq q_{n+1}<0$ por lo que $$|p_{n+1}|<|p_{n+1}+q_{n+1}|=|-p_n|=|p_n|.$$

Vemos entonces que en todos los casos, $|p_{n+1}|\leq\max(|p_n|,1)$. Además, en cada tercer paso, $|p_{n+1}|\leq\frac{|p_n|}{2}$. Por lo tanto, para todo $n$ suficientemente grande, $|p_n|\leq 1$.

Seleccionemos ahora $n$ tal que $|p_n|\leq 1$ y $p_n$ y $q_n$ son positivos. Entonces tenemos que $$p_n^2-4q_n\leq p_n^2-4p_n<0.$$ Por lo tanto, el discriminante de $x^2+p_nx+q_n$ es negativo y no tiene raíces reales. Esto es una contradicción.