Cada una de las $1,2,3,4,5$ tiene su factorial en base $2$ forma$1...10...0.$ me pregunto si hay mayor $n$ para que esta se produce. Tal $n$satisfacer $$n!=(2^a-1)2^b,$$ pero yo no era capaz de mostrar $n\le5$ a partir de este. Cualquier ayuda es apreciada.
Respuesta
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Tal vez no el más elemental de la solución:
Vamos a suponer que ese $a$ e $b$ existen. Por Zsigmondy del teorema no es un prime $p$ dividiendo $2^a-1$ que no divide $2^n-1$ cualquier $n<a$. Para tales prime tenemos $ord_p(2)=a$, lo $a \mid p-1$ y, por tanto, $a \le p-1$. Desde $p \mid n!$ tenemos $p \le n$ e lo $a \le p-1 \le n-1$. Asimismo, para $b$ tenemos:
$$b=v_2(n!)=\sum_{k=1}^{\infty} \lfloor\frac{n}{2^k}\rfloor < \sum_{k=1}^{\infty}\frac{n}{2^k}=n$$ so $b \le n-1$ . Por lo tanto tenemos que:
$$n! \le (2^{n-1}-1)2^{n-1}$$
Que solo se satisface para $n \le 6$ y desde $6$ no tiene esta propiedad que se hacen. Esto se puede generalizar para demostrar que en cualquier sistema que sólo hay un número finito de factoriales, que constan de los mismos dígitos repetidos seguido por la cadena de ceros.
