Álgebra de Banach unital conmutativa no isomorfa a $C(X)$ para algún espacio compacto de Hausdorff $X$

Question

Según unas notas de clase que estoy leyendo, "no es tan difícil encontrar un ejemplo de un álgebra de Banach unital conmutativa que no sea isomorfa a $C(X)$ para algún espacio compacto de Hausdorff $X$ "...

Bueno, estaba pensando en usar el disco de álgebra $\mathcal{A}$ de funciones continuas en el disco $D = \{z \mid |z| \leq 1\}$ que son holomorfas en el interior de $D$ con la norma sup.

Debe ser un álgebra de Banach unital conmutativa. Sin embargo, como es el comienzo del capítulo sobre la transformación de Gelfand, me gustaría demostrar que $\mathcal{A}$ no es isomorfo a $C(X)$ sin utilizar el resultado de Gelfand.

¿Qué otras herramientas podría utilizar para demostrar este hecho?

Answer 1

He aquí un argumento. Supongamos que $\pi:\mathcal A\to C(X)$ es un isomorfismo de álgebra de Banach unital. Sea $f\in \mathcal A$ . Poner $g=\pi^{-1}(\overline{\pi(f)})$ (es decir, el mapa $f$ a $C(X)$ , conjúguelo y vuelva). Ahora $$ \pi(gf)=\pi(g)\pi(f)=|\pi(f)|^2\geq0. $$ Entonces, para cualquier $r>0$ , $\pi(gf+r+is)=|\pi(f)|^2+r+is$ toma valores a distancia $r$ o más de $0$ Así que $gf+r+is$ es invertible. Esto dice que $-r+is$ (podemos escribir un plus ya que $s$ era arbitraria) no es a imagen y semejanza de $gf$ . En otras palabras, $\operatorname{Re}(gf)\geq0$ . Puede ver la prueba aquí (aplicado a $-gf$ y puede requerir una rotación si $gf(0)$ no es real) que entonces $gf$ es constante. En otras palabras, existe $c\in\mathbb R$ tal que $gf=c1$ . Entonces $$ |\pi(f)|^2=\pi(gf)=\pi(c1)=c1. $$ Ahora $f$ fue arbitraria y $\pi$ es onto, por lo que cada $h\in C(X)$ tiene $|h|^2$ constante. Esto sólo puede ocurrir si $X$ consiste en un solo punto, y en ese caso $\mathcal A$ sería unidimensional, una contradicción.

Answer 2

Cada $C^*$ álgebra de dimensión al menos $2$ debe tener divisor cero pero el álgebra del disco no tiene divisor cero.

La prueba de la existencia del divisor cero se basa en la descomposición $x=x^+ -x^-$ para un elemento autoadjunto $x$ . Esta descomposición se considera como la descomposición clásica $f=f^+ -f^-$ con $f^+.f^-=0$ para una función de valor real $f\in C(X)$ .