Tate Tesis: ¿en qué sentido es Tate del Teorema 4.2.1 la de Riemann-Roch teorema de curvas?

Question

Estoy leyendo Tate Tesis. Tate se deriva un teorema que él llama "el número de la teoría de la analogía de la de Riemann-Roch teorema" de un resumen de sumación de Poisson fórmula. Estoy acostumbrado a pensar en la de Riemann-Roch teorema como una declaración acerca de la dimensión global de las secciones de la invertible poleas más de un nonsingular curva proyectiva.

Me puede ayudar a entender la conexión entre Tate y teorema el teorema de curvas?

El teorema de curvas: Vamos a $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Deje $C$ ser un nonsingular curva proyectiva sobre $k$. Deje $\mathcal{L}$ ser invertible gavilla en $C$. Deje $\Omega^1$ ser invertible gavilla de 1-formas en $C$. Entonces

$$h^0(C,\mathcal{L}) - h^0(C,\Omega^1\otimes \check{\mathcal{L}}) = d-g+1$$

donde $d$ es el grado de $\mathcal{L}$, e $g$ es el género de $C$, definido como:$h^0(C,\Omega^1)$.

Tate teorema: Vamos a $k$ ser un campo de número y deje $V$ ser su adele anillo. Deje $U$ ser el idele grupo (es decir, las unidades de $V$). Deje $D$ ser fundamental dominio de $V$ para la acción discreto de $k$. Deje $f:V\rightarrow\mathbb{C}$ ser un proceso continuo, $L^1$ función. Deje $\hat f$ ser su transformada de fourier. Deje $|\cdot|$ ser canónica de valor absoluto en $U$, que es el producto de la local de valores absolutos, cada adecuadamente normalizado de modo que el producto es trivial en $k$. Si $f$ satisface

• $\sum_{\xi\in k}f(a(x+\xi))$ es convergente para todos los $a\in U, x\in V$, y la convergencia es uniforme para $x\in D$
• $\sum_{\xi\in k} |\hat f(a\xi)|$ converge para todos los $a\in U$

entonces

$$\frac{1}{|a|}\sum_{\xi\in k} \hat f(\xi / a) = \sum_{\xi\in k} f(a\xi)$$

Cómo son estos dos teoremas relacionados?

Pensamientos: Es allí una manera de pensar de una invertible gavilla como un continuo $L^1$ función en el adele anillo de la curva? Si es así, supongo que la transformada de fourier es la relativa a la doble gavilla?

Answer 1

Si usted trabaja en la función de campo de caso, es decir, reemplazar el campo de número de $K$, y sus lugares de $v$ por un número finito de extensión de $k[x]$ para un campo finito $k$, y el trabajo con sus lugares, entonces esta declaración se convierte en la de Riemann--Roch teorema.

La aparición de $1-g$ en el RR thm., y el papel de la canónica de paquete en la formación del tipo correcto de dual, aquí ser absorbido en la definición de la auto-dual medida en la adeles.

Para ser un poco más precisos, usted debe imaginar que su línea de paquete es de la forma $\mathcal L(D)$ para algunos divisor $D$ (siempre lo es, después de todo!); a continuación, $a$ va a jugar el papel de $D$ ( $-D$ ). Y usted debe tomar $f$ a la función característica de la integral adeles. A continuación, un lado de la igualdad contará funciones racionales $\xi$ que $\xi a^{-1}$ no tiene demoninators (de manera global las secciones de $\mathcal L(D)$), y el otro lado contará funciones racionales $\xi$ de esos, aproximadamente, $\xi a^{-1}$ es integral, que es el mundial de las secciones de $\mathcal L(-D)$; excepto que $f$ no es bastante auto-dual. En el campo número de caso de que las diversas viene, y en la función de campo de caso que estamos considerando, la canónica paquete (así como un factor de relativa a la $1-g$).

Finalmente, para obtener la conocida declaración acerca de las dimensiones, tomar registro de ambos lados y dividir por $\log q$ (donde $q = |k|$).

(Usted puede comprobar entonces que el $|a|^{-1}$ sobre el lado izquierdo, después de la toma de registros, da la $\deg D$ plazo.)