En realidad es más sencillo (para seguir la dualidad con el caso de las álgebras) considerar el cokernel de la coaplicación, en lugar del kernel de la aumentación. Más precisamente, definir una equivalencia: $$F : \{ \text{coaugmented counital dg-coalgebras} \} \leftrightarrows \{ \text{coalgebras (without counit)} \} : G$$ como sigue. Sea $(C,\Delta,\varepsilon,d,u)$ sea una dg-coalgebra coagulada (con las notaciones obvias, $\varepsilon$ el país y $u$ la coaplicación). A continuación, $F(C,\Delta,\varepsilon,d,u) = (C', \Delta', d')$ donde:
- $C' = \operatorname{coker}(u) = C / \operatorname{im}(u)$ ;
- ya que la coaplicación es un morfismo de álgebras y $\Delta(1_k) = 1_k \otimes 1_k$ se deduce que $\Delta(1) = 1 \otimes 1$ (donde $1 = u(1_k)$ ), por lo tanto $\Delta : C \to C \otimes C$ induce un mapa en el cociente $\Delta' : C' \to C' \otimes C'$ que también es coasociada;
- de manera similar $d(1_k) = 0$ así $d(1) = 0$ y así $d$ induce un mapa $d' : C' \to C'$ que es una coderivación al cuadrado de cero (porque $d$ era).
A la inversa, dejemos que $(C',\Delta',d')$ sea una álgebra (sin counit), entonces se puede definir una álgebra counital coaugmentada $G(C',\Delta',d') = (C, \Delta, \varepsilon, d, u)$ por:
- $C = C' \oplus k1$ (donde $1$ es algún símbolo);
- $\Delta(x) = \Delta'(x) + x \otimes 1 + 1 \otimes x$ para $x \in C$ y $\Delta(1) = 1 \otimes 1$ , extendida linealmente;
- $\varepsilon(x) = 0$ para $x \in C'$ y $\varepsilon(1) = 1$ ;
- $d(x) = d'(x)$ para $x \in C'$ y $d(1) = 0$ ;
- $u(1_k) = 1$ .
De esta manera se obtiene un dg-coalgebra counital coagulada. Sáltate el siguiente párrafo si no necesitas convencerte.
La mayoría de los axiomas son fáciles de comprobar, el más problemático (en términos de líneas de cálculo necesarias) es quizás la coasociación. Permítame escribir $\Delta'(x) = x_{(1)} \otimes x_{(2)}$ utilizando la notación de Sweedler. Por la coasociación de $\Delta'$ sabemos que $(\Delta' \otimes \operatorname{id}) \Delta'(x) = x_{(1)} \otimes x_{(2)} \otimes x_{(3)} = (\operatorname{id} \otimes \Delta') \Delta'(x)$ . Entonces: $$\begin{align} (\Delta \otimes \operatorname{id}) (\Delta(x)) & = (\Delta \otimes \operatorname{id}) \bigl( x_{(1)} \otimes x_{(2)} + x \otimes 1 + 1 \otimes x \bigr) \\ & = \Delta(x_{(1)}) \otimes x_{(2)} + \Delta(x) \otimes 1 + \Delta(1) \otimes x \\ & = \bigl( \Delta'(x_{(1)}) \otimes x_{(2)} + x_{(1)} \otimes 1 \otimes x_{(2)} + 1 \otimes x_{(1)} \otimes x_{(2)} \bigr) \\ & + \bigl( \Delta'(x) \otimes 1 + x \otimes 1 \otimes 1 + 1 \otimes x \otimes 1 \bigr) + 1 \otimes 1 \otimes x \\ & = x_{(1)} \otimes x_{(2)} \otimes x_{(3)} + x_{(1)} \otimes 1 \otimes x_{(2)} + 1 \otimes x_{(1)} \otimes x_{(2)} \\ & + x_{(1)} \otimes x_{(2)} \otimes 1 + x \otimes 1 \otimes 1 + 1 \otimes x \otimes 1 + 1 \otimes 1 \otimes x \end{align}$$ y ahora claramente se pueden reordenar los términos de esa última expresión para volver a $(\operatorname{id} \otimes \Delta)\Delta(x)$ (¡Uf! me costó un poco de tiempo hacerlo bien).
Ahora tienes que demostrar que $F$ y $G$ son equivalencias inversas. Esto viene del hecho de que si $C$ es una dg-coalgebra coagulada, la secuencia exacta $$0 \to k \xrightarrow{u} C \to \operatorname{coker}(u) \to 0$$ está dividido por el condado: $\varepsilon(u(1_k)) = 1_k$ . Así que $C$ es isomorfo como complejo de cadena a $\operatorname{coker}(u) \oplus k$ , que puedes comprobar que es exactamente $G(F(C))$ . Lo contrario $F(G(C')) \cong C'$ es casi inmediata por definición. (Sólo queda comprobar la naturalidad de todo, que es un ejercicio completamente mecánico).
