La forma cerrada de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(1+n^2)}$

Question

¿Cómo me puede recomendar para hacer frente a la serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(1+n^2)}$$? Podemos expresar esto en términos de la conocida constantes? ¿Qué piensa usted acerca de esto?

Answer 1

Usted puede recordar la Lerch trascendentefunción $$ \Psi(z,s,a)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{(a+k)^s} $$ y el uso de $$ \frac{1}{n^2+1}=\frac{i}{2}\left(\frac{1}{n+i}-\frac{1}{n-i}\right) $$ para obtener $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(1+n^2)}=-1-\Im \: \Psi\left(\frac12,1,i\right) $$ lo que le da su serie en términos de una función especial.

Tal vez algún día vamos a ser capaces de decir algo más profundo...

Answer 2

Mathematica rendimientos

Sum[1/(2^n (1 + n^2)), {n, \[Infinity]}]

dando a $$\left(\frac{1}{4}-\frac{i}{4}\right) (\, _2F_1(1,1;2-i;-1)+i \, _2F_1(1,1;2+i;-1))\approx0.318057$$ donde $_2F_1$ es el confluente 2F1 función hipergeométrica, lo cual está de acuerdo con numéricas de suma.

En cuanto a cómo se podría obtener este resultado con la mano, tal vez otro usuario podría proporcionar la respuesta?

Answer 3

La forma más compacta yo era capaz de especificar es $$3\,\Re\left({_2F_1}\left(\begin{array}c 1,1 \\ 1+i\end{array}\middle|\,-1\right)\right) - \Im\left({_2F_1}\left(\begin{array}c 1,1 \\ 1+i\end{array}\middle|\,-1\right)\right) - 2\,\Re\left({_2F_1}\left(\begin{array}c 1,1 \\ i\end{array}\middle|\,-1\right)\right).$$

Por el camino para que el valor numérico de ISC le da la espalda a la suma.