Mi problema es la comprensión de cómo nos relacionamos campo de extensiones con el mismo polinomio mínimo. Estoy corriendo en algunos problemas de comprensión de algunos de los detalles de la extensión de campo $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$ $\mathbb{Q}$ y de manera similar a $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega)$$\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$. A mi entender el grado de un campo finito de extensión, el grado es igual al grado del polinomio mínimo para el root $2^{\frac{1}{3}}$.
Ahora esto tiene el polinomio mínimo $p(x) = x^3 - 2$. Así que por mi comprensión de esta definición, debemos tener $[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}):\mathbb{Q}] = 3$.
Pero $p(x)$ tiene dos raíces adicionales que no existen en el campo en $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$ pero existen en el campo de la extensión de $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega)$ donde $\omega = e^{\frac{2}{3}\pi i}$. Pero entonces el polinomio mínimo de a $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega)$ es todavía nuestra $p(x) = x^3 - 2$. Para mí, esto parece implicar que $[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega):\mathbb{Q}] = 3$.
También sé y entiendo que para el campo finito extensiones que
$$[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega ):\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})][\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}):\mathbb{Q}]$$
Pero esto parece implicar que a la hora de resolver ese $[\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega ):\mathbb{Q}(2^{\frac{2}{3}})] = 1$, lo que implicaría también que $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}, \omega )=\mathbb{Q}(2^{\frac{2}{3}})$.
Estoy casi seguro de que la última afirmación es falsa, pero no estoy seguro de donde me pueden cometer errores con mi definiciones o la aplicación de los teoremas de forma incorrecta, o si se trata de un simple error de mi parte.
Gracias!
