El elemento de identidad del producto tensorial de paquetes vectoriales

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

Si $E$ es un haz vectorial suave sobre $M$ entonces $(M\times\mathbb{R})\otimes E \simeq E$ .

Construí un isomorfismo entre las fibras, pero no logré definir un isomorfismo entre los haces vectoriales.

Answer 1

Un isomorfismo de haces vectoriales no es más que un morfismo de haces vectoriales que es un isomorfismo en cada fibra (como señaló san en un comentario).

Dices que tienes un isomorfismo entre las fibras. Voy a suponer que el isomorfismo que tienes es $\mathbb{R}\otimes F \to F : r\otimes f\mapsto rf$ donde $F$ es una fibra. Su inversa es $F\to\mathbb{R}\otimes F: f\mapsto 1\otimes f$ .

El isomorfismo del haz entre $E$ y $(M\times\mathbb{R})\otimes E$ se obtiene tomando el isomorfismo anterior en cada fibra: $$ (M\times\mathbb{R})\otimes E \to E : (m,r)\otimes f_m \mapsto (rf)_m $$ donde he utilizado subíndices para indicar los puntos de base. La adición de un punto base en la notación es realmente la única diferencia con el caso del espacio vectorial. La inversa es $$ E \otimes (M\times\mathbb{R})\otimes E : f_m \mapsto (m,1)\otimes f_m .$$ Esto responde a su pregunta (espero).

---

(Párrafo extra opcional.)

Nótese que encontrar el isomorfismo de los haces vectoriales no era en realidad más difícil que encontrar el isomorfismo entre fibras. Sólo necesitábamos incluir un punto base en la notación. Esto es a menudo cierto: si se puede encontrar un mapa natural entre espacios vectoriales, se obtiene el mismo mapa entre haces vectoriales. Por ejemplo, si $V$ y $W$ son espacios vectoriales, entonces $\text{Hom}(V,W) \cong V^*\otimes W$ por algún mapa natural. Usando el mismo mapa pero añadiendo puntos base, obtenemos que $$\text{Hom}(D,E) \cong D^*\otimes E$$ donde $D$ y $E$ son haces vectoriales. (Aquí por $\text{Hom}(D,E)$ Me refiero al haz vectorial cuya fibra sobre $m$ es $\text{Hom}(D_m,E_m)$ . No me refiero al conjunto de morfismos de haces vectoriales de $D$ a $E$ .)