Olimpíadas De Matemáticas Álgebra Pregunta

Question

Si $$ax + by = 7$$ $$ax^2 + by^2 = 49$$ $$ax^3 + by^3 = 133$$ $$ax^4 + by^4 = 406$$find the value of $$2014(x+y-xy) - 100(a+b)$$

Me encontré con esta pregunta en una Olimpiada de Matemáticas de la Competencia y no estoy seguro de cómo resolverlo. Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Estas ecuaciones son de la forma del primer término de la solución general de una recurrencia lineal con coeficientes constantes de orden $2$. El término general de la solución es $$ u_n=ax^n+^n $$ y la repetición es $$ u_{n+1}=cu_n+du_{n-1} $$ Conocer a dos triples de los cuatro términos de $(u_1,u_2,u_3,u_4)=(7,49,133,406)=7\cdot(1,7,19,58)$ de la secuencia permite establecer las ecuaciones de $c$ $d$ \begin{align} 19&=7c+d\\ 58&=19c+7d\\ \text{and consequently}&\\ 75&=30c\\ c&=\frac52\\ d&=19-7c=\frac32 \end{align} así que $$ 2u_{n+2}-5u_{n+1}-3u_n=0 $$ Para las raíces de las $x$ $y$ de la característica de la ecuación obtenemos $x+y=\frac52$$xy=-\frac32$. La expresión $a+b=u_0$ es el término de la secuencia antes de que el dado, $$ a+b=\frac13(2u_2-5u_1)=\frac13(98-35)=21 $$ Esto es suficiente para calcular el loco combinación que se solicita como respuesta.

Answer 2

De$ax+by=7$,$ax=7-by, by=7-ax$. Tomando nota de $$ ax^2+by^2=x\cdot ax+y\cdot by=x(7-by)+y(7-ax)=7(x+y)-(a+b)xy, $$ de $ax^2+by^2=49$, obtenemos $$ \tag{$*$} 7(x+y)-(a+b)xy=49. $$ Del mismo modo, $$ ax^2=49-by^2,by^2=49-ax^2, ax^3=133-by^3,by^3=133-ax^3, $$ a partir de la cual, tenemos $$ ax^3+by^3=x\cdot ax^2+y\cdot by^2=x(49-by^2)+y(49-ax^2)=49(x+y)-(ax+by)xy $$ y, por tanto, $49(x+y)-7xy=133$ o $$ \tag{$**$} 7(x+y)-xy=19. $$ Finalmente, $$ ax^4+by^4=x\cdot ax^3+y\cdot by^3=x(133-by^3)+y(133-ax^3)=133(x+y)-(ax^2+by^2)xy=133(x+y)-49xy $$ y, por tanto, $133(x+y)-49xy=406$ o $$\tag{$***$}\quad\quad\quad 19(x+y)-7xy=58. $$ De $(*), (**), (***)$, es fácil ver $$x+y=\frac{5}{2},xy=-\frac{3}{2},a+b=21 $$ y por lo tanto $$ 2014(x+y-xy)-100(a+b)=5956. $$