De encontrar lo positivo de la raíz de $100^{2}=x^{2}+ \left( \frac{100x}{100+x} \right)^{2}$

Question

Yo estaba luchando con este problema:

$$100^{2}=x^{2}+ \left( \frac{100x}{100+x} \right)^{2}$$

Se acercó cuando estaba desarrollando una solución a una geometría del problema. Ya he comprobado en Mathematica y la solución es correcta, de acuerdo a la respuesta. La respuesta debe ser un número real positivo, porque es la medida de un segmento.

He tratado de factoring, manipulando algebraicamente, pero yo no podía resolver la resultante de 4to grado del polinomio. Agradezco si alguien me puede ayudar. Gracias!

Answer 1

WA nos dicen que la raíz es positiva $$ 50 (-1 + \sqrt 2 + \sqrt{2 \sqrt 2 - 1}) \aprox 88.320 $$ WA también nos dice que el polinomio mínimo de ese número en $\mathbb Q$es $$ x^4 + 200 x^3 + 10000 x^2 - 2000000 x 100000000 $$ y así que no hay una simple respuesta.

Por otro lado, la sustitución de $x=50u$ en el mínimo polinomio da $$ 6250000 (u^4 + 4 u^3 + 4 u^2 - 16 u - 16) $$ Ahora esto puede tenerse en cuenta en dos razonablemente buscando cuadráticas: $$ u^4 + 4 u^3 + 4 u^2 - 16 u - 16 = (u^2 + (2 + 2 \sqrt 2) u + 4 \sqrt 2 + 4) (u^2 + (2 - 2 \sqrt 2) u - 4 \sqrt 2 + 4) $$ Pero todo esto es que, en retrospectiva,...

Answer 2

Gracias por toda la colaboración. Debido a la @labbhattacharjee 's comentario, yo era capaz de resolver el problema analíticamente. Resolver la ecuación de $x^2+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=27$ muestra que, si tenemos una ecuación:

$$a^{2}+b^{2}=k$$

Entonces, llamando a $c=\frac{ab}{a-b}$, podemos manipular algebraicamente la expresión anterior:

$$(a-b)^{2}+2c(a-b)-k=0$$

Para nuestro problema, vamos a $a=x$, $b=\frac{100x}{100+x}$ e $k=100^{2}$. Resulta que $c=100$ e $a-b=\frac{x^{2}}{100+x}$. Así, si la ponemos a $u=\frac{x^{2}}{100+x}$, tendremos:

$$u^{2}+200u-100^{2}=0$$

Que lo único positivo de la raíz es $100(\sqrt{2}-1)$. La resolución de la ecuación:

$$\frac{x^{2}}{100+x}=100(\sqrt{2}-1)$$

El único punto positivo de la raíz es $50(\sqrt{2}-1+\sqrt{-1+2\sqrt{2}})$.

Gracias!