evaluación de $\int\frac{1}{\sin^3 x-\cos^3 x}dx$

Question

Evaluación de $\displaystyle \int\frac{1}{\sin^3 x-\cos^3 x}dx$

$\bf{My\; Try::}$ $\displaystyle \int\frac{1}{\sin^3 x-\cos^3 x}dx = \int\frac{1}{(\sin x-\cos x)\cdot (\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x)}dx$

$\displaystyle = 2\int\frac{(\sin x-\cos x)}{(\sin x-\cos x)^2\cdot (2-\sin 2x)}dx = 2\int \frac{(\sin x-\cos x)}{(1-\sin 2x)\cdot (2-\sin 2x)}dx$

Deje $(\sin x+\cos x) = t\;,$ $(\cos x -\sin x)dx = dt\Rightarrow (\sin x -\cos x)dx = dt$

y $(1+\sin 2x)=t^2\Rightarrow \sin 2x = (t^2-1)$

De modo Integral Convertir en $\displaystyle 2\int\frac{1}{(2-t^2)\cdot (3-t^2)}dt = 2\int\frac{1}{(t^2-2)\cdot (t^2-3)}dt$

Mi Pregunta es , existe algún método mejor que otro, que

Me ayudan

Gracias.

Answer 1

Falta un signo menos en un punto, pero aparte de eso creo que está bien. A continuación, use fracciones parciales: $$\frac{1}{(2-t^2)(3-t^2)} = \frac{A}{\sqrt{2}-t} + \frac{B}{\sqrt{2}+t} + \frac{C}{\sqrt{3}-t} + \frac{D}{\sqrt{3}+t}$$