La minimización de una función que contiene una integral

Question

Estoy tratando de optimizar una función de la siguiente forma:

$L = \int_{t=0}^{T}(AR-x)dt$, donde a es un parámetro del sistema

es decir, estoy tratando de encontrar el óptimo de x(t) que minimiza L sobre todos los admisible x(t)s. R está relacionado con x utilizando la relación:

$\frac{dR}{dt} = axRY - bR$, donde a y b son los parámetros del sistema y $R(0) = R_{0}$

$\frac{dY}{dt} = -xRY$

Estaba buscando en este problema, principalmente, una simulación de la perspectiva. Hay toda una cantidad de trabajo invertido en el que muestra que x puede tomar sólo dos valores específicos que minimizar la función sobre cualquier intervalo de tiempo dado. Ahora, lo que yo estaba pensando era convertir la integral en su formulación discreta y hacer lo siguiente:

Para $t=1$, Deje $x = x_{min}$ y calcular el $L_{10}$ Deje $x = x_{max}$ y calcular el $L_{11}$ Por último, elegir la que tiene el min L.

Y, a continuación, continuar con t=2 y así sucesivamente, en la misma forma. Si puedo visualizar este problema, no es nada, pero para encontrar un camino de coste mínimo en un árbol binario es decir, algo de la forma siguiente:

\begin{cases} x+y+z=0 \\ (x+4)^2+(y+4)^2+(z+4)^2=50 \\ (x+4)^3+(y+4)^3+(z+4)^3=216 \end\begin{cases} x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=2 \\ x^3+y^3+z^3=0 \end\begin{cases}xy=-1 \\ 3xy(x+y)=0\end------- $L_{00}$
-----------------------/--\---------
------------------$L_{10}$----$L_{11}$----
-----------------/-----\----/----\-------
-------------$L_{20}$-----$L_{21}$-$L_{22}$-$L_{23}$--

y así sucesivamente hasta el último T. no estoy seguro de si mi proceso de pensamiento de la simulación de este está en la dirección correcta. Alguien puede darme algunas sugerencias?

Answer 1

No creo que el problema tal como se plantea tiene una solución óptima. Este es un problema de control óptimo, normalmente tratados mediante la resolución de Hamilton–Jacobi–Bellman ecuación. El problema aquí es bastante general, es decir, una lineal y sin restricciones de control. Por lo tanto la mínima con respecto a la variable de control ($x$ en su notación, $u$ en la nota de la referencia de la página de Wikipedia) en la HJB ecuación no existe, a menos que el valor de la función $V$ no depende de la variable de control. En otras palabras, un óptimo existe sólo en el caso trivial en donde la variable de control no influir en la función de costo.

(Una pequeña advertencia: a Pesar de que me he sentado a través de una serie de conferencias sobre la teoría de control óptimo, que es la medida de mis conocimientos, por lo que tomar esto con un grano de sal).

Answer 2

Se parece a una entera mixta dinámico problema de optimización. El problema se puede escribir como sigue: (cuenta de la transformación de la integral en la ecuación diferencial? Es un estándar de truco. También, tenga en cuenta que necesita una condición inicial para $Y$)

$\min_{x(t)} L(T)$

s.t. $ \frac{dL(t)}{dt} = AR(t)-x(t)$ , $L(0) = 0$

$ \frac{dR(t)}{dt} = ax(t)R(t)Y(t) - bR(t)$ , $R(0) = R_{0}$

$\frac{dY(t)}{dt}=−x(t)R(t)Y(t)$ , $Y(0) = Y_{0}$

$x(t) = \delta(t) x_{min} + (1 - \delta(t)) x_{max}$ donde $\delta(t) \in \{0,1\}$

Para resolver este problema numéricamente, simplemente discretizar las ecuaciones diferenciales usando backward Euler (fácil), o implícita de Runge Kutta (más difícil, pero más preciso). Plantear esto como un Entero Mixto no Lineal del Programa (MINLP) y el uso de uno de estos solucionadores de problemas para encontrar la solución.

Bonmin https://projects.coin-or.org/Bonmin

Couenne https://projects.coin-or.org/Couenne

Estos solucionadores de recorrer el branch-and-bound árbol de forma más inteligente y eficiente que el método de la enumeración de cada uno de los casos, que crecerá con el no. de discretización de la cuadrícula de puntos que tiene. (por ejemplo, digamos que usted discretizar más de 20 puntos; la no. de los casos se tiene que buscar es $2^{20} = 1048576$. No es agradable.)

Con un branch-and-bound|cortar|reducir MINLP solver (y un poco de suerte), en promedio, usted es poco probable que golpeó el escenario del peor caso, donde cada uno de los casos se enumera.

Hay otras maneras de resolver este problema, varios de disparo secuencial y dinámico de optimización, etc. En mi opinión, el control óptimo de los métodos (principio del máximo de Pontryagin) son generalmente insolubles en problemas como este.