La formación de las ecuaciones cúbicas con relativa raíces

Question

Si la ecuación de $x^3+2x^2-5x+1=0$ tiene raíces $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ¿cómo puedo encontrar la ecuación con raíces $\alpha^2+\alpha$?

Answer 1

Vamos $a$, $b$ y $c$ nuestras raíces.

Por lo tanto, $a+b+c=-2$, $ab+ac+bc=-5$, $abc=-1$ y

$$\sum_{cyc}(a^2+a)=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)+a+b+c=12,$$

$$\sum_{cyc}(a^2+a)(b^2+b)=(ab+ac+bc)^2-2abc(a+b+c)+(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc+ab+ac+bc=29$$ $$\prod_{cyc}(a^2+a)=abc(abc+ab+ac+bc+a+b+c+1)=7,$$ el que dice que la respuesta es $$x^3-12x^2+29x-7=0$$

Answer 2

Podemos empezar por poner $y=x^2+x$ y sustituir esto en la ecuación original para obtener:$$xy+y-6x+1=0$$ or $$x=\frac {y+1}{6-y}$$Now $$y=x^2+x=\left(\frac {y+1}{6-y}\right)^2+\frac {y+1}{6-y}$$ which gives, on clearing fractions: $$y(6-y)^2=(y+1)^2+(y+1)(6-y)$$or $$y^3-12y^2+29y-7=0$$

Voy a dejar de pensar en por qué esto funciona.

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Tenga en cuenta que esto puede ser reorganizado para ser hecho sin dividir por $6-y$ por $$(6-y)x=(y+1)$$which we square to obtain$$(6-y)^2x^2=(y+1)^2$$Multiply first equation by $(6-y)$$$(6-y)^2x=(y+1)(6-y)$$Add second and third and note that $x^2+x=y$ to obtain $$y(6-y)^2=(y+1)^2+(y+1)(6-y)$$ as before, so there is no need to consider the case $y=6$ por separado. Dividiendo a través de y, a continuación, multiplicando de nuevo sólo hace que sea más clara (en mi mente) lo que está pasando.

Además tenga en cuenta que el lado derecho puede ser calculada mediante la extracción de factor de $y+1$ a partir de dos términos para dar facilidad a $7x+7$, que es ligeramente más fácil y más rápido que la expansión de cada término (si usted irregular).

Answer 3

El campo $\mathbb Q(\alpha)$ tiene el grado $3$ $\mathbb Q$ porque $x^3+2x^2-5x+1$ es irreductible.

Por lo tanto, $1,\alpha, \alpha^2$ es una base.

Deje $\theta=\alpha^2+\alpha$. Deje $A$ ser la matriz de la aplicación lineal mapa de $x \mapsto \theta x$ en esta base. Las columnas de $A$ $\theta \cdot 1$, $\theta \cdot \alpha$, $\theta \cdot \alpha^2$ expresado en términos de $1,\alpha, \alpha^2$.

A continuación, $\theta$ es una raíz de cada ecuación polinómica satisfecho por $A$ y vice-versa. En particular, $\theta$ es una raíz del polinomio característico de a$A$,$\det(A-xI)$.

Este método funciona para todos los $\theta \in \mathbb Q(\alpha)$.