Yo estaba hablando con un amigo acerca de cómo encontrar una fórmula explícita para la relación entre los números positivos $a$ $b$ en la ecuación $$ \log_b a = (a/b)^{1/2} $$ después de algunos reordenando obtenemos que esto es equivalente a $$ a^{a^{-1/2}}=b^{b^{-1/2}}. $$ La función de $f(x)=x^{x^{-1/2}}$ alcanza su máximo global de $e^{2/e}$ $x=e^2$ y es estrictamente creciente en a $(0,e^2)$ y estrictamente decreciente en a $(e^2,\infty)$. Por otra parte $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,$ $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1$ y $f(1)=1$.
Por lo tanto para cualquier $a \in (1,e^2)$, existe exactamente un número $b=b(a) \in (e^2,\infty)$, de modo que $f(a)=f(b).$
Aquí está una parcela para el número de $a$ $f(a)=2:$
$a$ $x$- valor de la primera intersección de las dos líneas, $b$ $x$- valor de la segunda intersección.
La función de $b:(1,e^2)\to(e^2,\infty)$ es diferenciable, estrictamente decreciente y satisface $\lim\limits_{a\downarrow 1}b(a)=\infty$ $\lim\limits_{a\uparrow e^2}b(a)=e^2.$ creo que debería ser posible encontrar sus derivados, teniendo en cuenta lo que tenemos, pero no estoy seguro de cómo hacer esto.
Pregunta: ¿Es posible encontrar una expresión explícita para la función de $b$?
También, hay un nombre para esta forma de definir una función?
