Hallar el valor de $a+2b+3c$ donde $a,b,c$ son raíces de una ecuación cúbica.

Question

Vamos $a$, $b$, y $c$ ser números reales positivos con $a<b<c$ tal que $a+b+c=12$, $a^2+b^2+c^2=50$, y $a^3+b^3+c^3=216$. Encontrar $a+2b+3c$.

He resuelto así: $$2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$$$$ab+bc+ca=47$$ $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$$$abc=60$$ S0 $a,b,c$ son soluciones de $x^3-12x^2+47x-60=0$
La colocación de $x=y+4$$$y^3+12y^2+48y+64-12y^2-96y-192+47y+188-60=0$$$$y^3-y=0$$ Por lo $y=-1,0,1$$x=3,4,5$.
Por lo tanto $a=3;b=4;c=5$ $a+2b+3c=26$

Pero hay otra manera de resolverlo sin hacer realmente una ecuación cúbica y, a continuación, la solución para obtener los valores de $a,b,c$

Answer 1

Hacer el cambio: $a=x+4, b=y+4,c=z+4$. A continuación, las ecuaciones serán: $$\begin{cases} x+y+z=0 \\ (x+4)^2+(y+4)^2+(z+4)^2=50 \\ (x+4)^3+(y+4)^3+(z+4)^3=216 \end{casos} \Rightarrow \begin{cases} x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=2 \\ x^3+y^3+z^3=0 \end{casos}$$ Express $x+y=-z$. Plaza y restar el segundo. Cubo y restar la tercera. $$\begin{cases}xy=-1 \\ 3xy(x+y)=0\end{casos} \Rightarrow (x,y,z)=(-1,1,0); (1,-1,0).$$ Nota: Todos los $6$ soluciones posibles será el permutaciones de $(-1,1,0)$.

Desde $a<b<c$, a partir de la primera obtenemos: $$(a,b,c)=(3,4,5).$$ Nota: Todos los $6$ posibles soluciones sin restricción $a<b<c$ será el permutaciones de $(3,4,5)$.