¿Cómo encontrar un polinomio del cual este campo es un campo de división?

Question

En el campo $Q(\sqrt{2} + i \sqrt{5})$. He comprobado que $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + i \sqrt{5}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, i \sqrt{5})$. También, por el grado del producto de la regla de la extensión de grados, he a $$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i \sqrt{5}) : \mathbb{Q}] = 4.$$

Ahora estoy siendo invitado a dar un polinomio $f \in \mathbb{Q}[X]$ tal que $Q(\sqrt{2} + i \sqrt{5})$ es la división de campo de la $f$$\mathbb{Q}$.

No sé cómo manejar este problema. Traté de establecimiento $x = \sqrt{2} + i \sqrt{5}$ y cuadrado, etc. pero no puedo conseguir un polinomio sobre $\mathbb{Q}$. El problema me da una pista, diciendo que debe buscar un adecuado campo de $E$ tal que $$\mathbb{Q} \subset E \subset Q(\sqrt{2} + i \sqrt{5})$$ but I'm not sure how this will help me. I know that $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i \sqrt{5}) = (\mathbb{Q}(\sqrt{2})(i\sqrt{5})$. So then I would maybe let $E = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Then $x^2 + 5$ is the minimal polynomial of $i \sqrt{5}$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. But how to find a polynomial from this over $\mathbb{Q}$?

Answer 1

Dejemos$\alpha = \sqrt 2 + \mathrm i \sqrt 5$ y consideremos los poderes sucesivos:

\begin{eqnarray*} \alpha &=& 0+1\sqrt 2 + \mathrm i \sqrt 5 + 0\sqrt{10}\\ \\ \alpha^2 &=& -3+0\sqrt 2 + 0\sqrt 5 + \mathrm i \sqrt{10} \\ \\ \alpha^3 &=& 0-13\sqrt 2+\mathrm i \sqrt 5 + 0\sqrt{10}\\ \\ \alpha^4 &=& -31+0\sqrt 2 + 0\sqrt 5 -12\mathrm i \sqrt{10} \end {eqnarray *}

Poner esto en una ecuación matricial da $$\ left [\begin{array}{c} \alpha \\ \alpha^2 \\ \alpha^3 \\ \alpha^4 \end {array} \ right] = \ left [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & \mathrm i & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 2\mathrm i \\ 0 & -13 & \mathrm i & 0 \\ -31 & 0 & 0 & -12\mathrm i \end {array} \ right] \ left [\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt 2 \\ \sqrt 5 \\ \sqrt{10} \end {array} \ derecha]$$ La matriz de cuatro por cuatro tiene un determinante distinto de cero, y por lo tanto: $$\ frac {1} {98} \ left [\begin{array}{cccc} 0 & -12 & 0 & -2 \\ 7 & 0 & -7 & 0 \\ -91\mathrm i & 0 & -7 \mathrm i & 0 \\ 0 & -31\mathrm i & 0 & 3\mathrm i \end {array} \ right] \ left [\begin{array}{c} \alpha \\ \alpha^2 \\ \alpha^3 \\ \alpha^4 \end {array} \ right] = \ left [\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt 2 \\ \sqrt 5 \\ \sqrt{10} \end {array} \ right]$$ Expandir la primera fila da$-\frac{12}{98}\alpha^2-\frac{2}{98}\alpha^4=1$, es decir,$$2(\alpha^4 + 6\alpha^2 + 49) = 0

El polinomio en cuestión es entonces$x^4+6x^2+49$.

Answer 2

La configuración de$x=\sqrt{2}+i\sqrt{5}$ y el enfoque de cuadratura, etc., funciona: $$(x-i\sqrt{5})^2 = 2\\x^2-7=2i\sqrt{5}x \\ (x^2-7)^2 = -20x^2\\ x^4+6x^2+49=0$$ This gives the minimal polynomial for $\ sqrt {2} + i \ sqrt {5},$ whose roots are $\ pm (\ sqrt {2 } \ pm i \ sqrt {5})$ and whose splitting field is $\ mathbb {Q} (\ sqrt {2}, i \ sqrt {5}) = \ mathbb {Q} (\ sqrt {2} + i \ sqrt {5}).$

Answer 3

Mire el polinomio mínimo de la matriz para la multiplicación por$\alpha=\sqrt 2 + i\sqrt 5$ mapa. Esto le dará el polinomio mínimo para$\alpha$, en particular, será uno para el campo. Si no te importa la irreductibilidad, solo usa$(x^2-2)(x^2+5)$.

Answer 4

En cuanto al enfoque que trató de tomar....

$\mathbb{Q}(\sqrt{2} + i \sqrt{5})$ es una de cuatro dimensiones $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, se extendió por (por ejemplo) por la base de $\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{-5}, \sqrt{-10} \}$. Si establece $x = \sqrt{2} + i \sqrt{5}$, $\{ 1, x, x^2, x^3, x^4 \}$ debe ser linealmente dependiente set — usted puede encontrar un $\mathbb{Q}$-combinación lineal de ellos que sumas a cero. Y usted puede encontrar haciendo ordinario de álgebra lineal.

A veces se puede hacer trucos; por ejemplo, inicio con $(x - \sqrt{2})^2 = -5$, y luego aislar $\sqrt{2}$, de modo que usted puede plaza de nuevo.

Usted podría, sólo inmediatamente escribe el polinomio mínimo ya que usted sabe todo de sus raíces:

$$(x - \sqrt{2} - i \sqrt{5})(x - \sqrt{2} + \sqrt{5}) (x + \sqrt{2} - i \sqrt{5})(x + \sqrt{2} + \sqrt{5})$$

aunque es un dolor para expandirla y calcular los coeficientes si quieren saber de ellos.