¿Se puede probar (o refutar) que un dígito en particular prevalece más que otro dígito en el conjunto de todos los números naturales?

Question

Este vínculos de vuelta a LO que se pregunta, cuando alguien quería aumentar el rendimiento de un algoritmo, y parte de la solución fue "la prueba de la situación más probable es primero". La pregunta que participan la comprobación de la presencia de uno o más de un subconjunto particular de base 10 dígitos, y así que la respuesta involucrados primera prueba de que cada dígito no estaba en el subconjunto, que era lo más probable.

Esto me puso a pensar. En el conjunto infinito de todos los naturales de base 10 los números de un solo dígito más frecuente que cualquier otro? Y un corolario: es la respuesta a esa pregunta diferente para un número diferente de base (tales como binario, octal o hexadecimal)?

El sentido común en la respuesta a ambas preguntas es "no". Sin embargo, un simple ejercicio en números binarios demostraría que el dígito 1 es más común que el dígito 0 en la mantisa de un conjunto fijo de dígitos binarios:

0
1
10
11 //maximum value of 2 bits; there have been 4 1s and 2 0s.
100
101
110
111 //maximum value of 3 bits; 12 1s and 6 0s have occurred.
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111 //maximum value of four bits; 32 1s and 18 0s have occurred.

Sé lo suficiente acerca de las matemáticas a conocer el sentido común la respuesta es a menudo mal; por ejemplo, trans-infinito de los números de la definición de diferentes cardinalidades de "infinito", establece. También hay pseudo-reglas que se ven como una cosa segura hasta que el espacio del problema se hace más grande; ya se puede ver sólo a través de cuatro bits que, mientras que 1 es más común de lo que 0, 0 está ocurriendo más a menudo como el número de bits de la mantisa aumenta. Así que, pensé en preguntarle y ver si alguien puede probar o refutar que en el caso general.

Answer 1

Para intervalos finitos tendrá una falta de ceros como ha visto. Si sube a$b^n-1$ en base$b$, el resto de los dígitos serán pares. Las discrepancias se vuelven más pequeñas a medida que avanzas. En el intervalo$[b^n,b^{n+1}-1]$ tendrá un total de$n(b^{n+1}-b^n)$ dígitos. Todos menos el dígito inicial se distribuirán equitativamente, dando$(n-1)(b^n-b^{n-1})$ de cada uno. El dígito inicial aportará un$(b^n-b^{n-1})$ adicional de todos los dígitos excepto$0$. El exceso fraccional es entonces$\frac 1{n-1}$

Answer 2

Si los ordena, 0.1234567891011 ..., entonces esta es la constante de Champernowne , lo cual es normal (una condición de uniformidad mucho más fuerte) en la base 10.